e pede para encontrar todos os autovalores (valores próprios) e os autovetores correspondentes. Informações relevantes fornecidas:
A matriz A é 3\times3.
O que se pede: todos os \lambda tais que exista vetor não-nulo v com Av=\lambda v, e para cada \lambda encontrar os vetores v (autovetores) que satisfazem isso.]
Passo 2
Definição prática: \lambda é autovalor de A se e somente se \det(A-\lambda I)=0. Aqui I é a matriz identidade 3\times3. Vamos montar A-\lambda I:
Agora calculamos o determinante \det(A-\lambda I). Como a segunda coluna tem duas entradas zero, é conveniente expandir pelo segundo coluna: só o elemento central (1-\lambda) contribui. Assim
Da segunda equação vem x_1=0\]. Substituindo na primeira, \(x_3=0. A variável x_2 não aparece nas equações, ou seja x_2 é livre. Tomando x_2=1 como escolha simples, um autovetor correspondente é
Da primeira equação x_3=-2x_1\]. Da segunda \(x_2=-2x_1. A terceira é redundante (verifica-se automaticamente). Escolhendo x_1=1 para simplificar, obtemos o autovetor