Encontre os autovalores e autovetores da matriz A:
Encontre autovalores e autovetores da matriz A=\left[\begin{array}{ccc}4 & 0 & 1 \\\\ -2 & 1 & 0 \\\\ -2 & 0 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}4 & 0 & 1 \\[4pt] -2 & 1 & 0 \\[4pt] -2 & 0 & 1\end{pmatrix}
e pede para encontrar todos os autovalores (valores próprios) e os autovetores correspondentes. Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A é 3\times3.
  • O que se pede: todos os \lambda tais que exista vetor não-nulo v com Av=\lambda v, e para cada \lambda encontrar os vetores v (autovetores) que satisfazem isso.]

Passo 2

Definição prática: \lambda é autovalor de A se e somente se \det(A-\lambda I)=0. Aqui I é a matriz identidade 3\times3. Vamos montar A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}4-\lambda & 0 & 1 \\[4pt] -2 & 1-\lambda & 0 \\[4pt] -2 & 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Agora calculamos o determinante \det(A-\lambda I). Como a segunda coluna tem duas entradas zero, é conveniente expandir pelo segundo coluna: só o elemento central (1-\lambda) contribui. Assim
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\cdot\det\begin{pmatrix}4-\lambda & 1 \\[4pt] -2 & 1-\lambda\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos o determinante 2\times2 dentro:
\det\begin{pmatrix}4-\lambda & 1 \\[4pt] -2 & 1-\lambda\end{pmatrix}=(4-\lambda)(1-\lambda)-1\cdot(-2).
Desenvolvendo:
(4-\lambda)(1-\lambda)=4-5\lambda+\lambda^2,
portanto
(4-\lambda)(1-\lambda)-(-2)=4-5\lambda+\lambda^2+2=\lambda^2-5\lambda+6.
Logo o polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda^2-5\lambda+6).
Fatorando \lambda^2-5\lambda+6:
\lambda^2-5\lambda+6=(\lambda-2)(\lambda-3).
Assim
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-3).]

Passo 4

Os autovalores são as raízes do polinômio característico. Das fatores obtemos
\lambda=1,\quad \lambda=2,\quad \lambda=3.
Todos são distintos, o que já indica que teremos três autovetores linearmente independentes (um para cada autovalor).

Passo 5

Vamos achar os autovetores para \lambda=1\). Precisamos resolver \((A-I)v=0\). Escrevendo a matriz: \[A-I=\begin{pmatrix}3 & 0 & 1 \\[4pt] -2 & 0 & 0 \\[4pt] -2 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Se v=(x_1,x_2,x_3)^T, o sistema (A-I)v=0 dá as equações:
\begin{cases} 3x_1 + x_3 = 0,\\[4pt] -2x_1 = 0,\\[4pt] -2x_1 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem x_1=0\]. Substituindo na primeira, \(x_3=0. A variável x_2 não aparece nas equações, ou seja x_2 é livre. Tomando x_2=1 como escolha simples, um autovetor correspondente é
v_{1}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
O espaço próprio de \lambda=1 é \operatorname{span}\{(0,1,0)^T\}.]

Passo 6

Agora \lambda=2\). Montamos \(A-2I\): \[A-2I=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1 \\[4pt] -2 & -1 & 0 \\[4pt] -2 & 0 & -1\end{pmatrix}.
Resolvendo (A-2I)v=0 com v=(x_1,x_2,x_3)^T obtemos:
\begin{cases} 2x_1 + x_3 = 0,\\[4pt] -2x_1 - x_2 = 0,\\[4pt] -2x_1 - x_3 = 0. \end{cases}
Da primeira equação x_3=-2x_1\]. Da segunda \(x_2=-2x_1. A terceira é redundante (verifica-se automaticamente). Escolhendo x_1=1 para simplificar, obtemos o autovetor
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
O espaço próprio de \lambda=2 é \operatorname{span}\{(1,-2,-2)^T\}.]

Passo 7

Finalmente \lambda=3\). Montamos \(A-3I\): \[A-3I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] -2 & -2 & 0 \\[4pt] -2 & 0 & -2\end{pmatrix}.
Resolvendo (A-3I)v=0 com v=(x_1,x_2,x_3)^T:
\begin{cases} x_1 + x_3 = 0,\\[4pt] -2x_1 -2x_2 = 0,\\[4pt] -2x_1 -2x_3 = 0. \end{cases}
Da primeira equação x_3=-x_1\]. Da segunda \(x_2=-x_1. A terceira é consistente com essas escolhas. Tomando x_1=1 resulta o autovetor
v_{3}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
O espaço próprio de \lambda=3 é \operatorname{span}\{(1,-1,-1)^T\}.]

Resposta

\lambda=1,\\ v=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}
\lambda=2,\\ v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]-2\end{pmatrix}
\lambda=3,\\ v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix}]

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