Quais das seguintes são transformações lineares? L(x, y, z)=(x+y, 0,2 x-z)
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
L(x,y,z) = (x+y,\;0,\;2x-z).
Pergunta: essa aplicação é uma transformação linear (ou seja, é linear de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3)?
Informações relevantes: a regra de L fornece cada coordenada como combinação dos argumentos x,y,z; não há termos constantes aparentes além de 0 na segunda coordenada.
Passo 2
Lembrete da definição (explicado devagar): uma aplicação \;L: V\to W\; entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v}\in V e qualquer escalar c, valerem as duas propriedades abaixo:
Aqui \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2) são vetores genéricos de \mathbb{R}^3 e c\in\mathbb{R} é um escalar. Se quisermos, uma forma direta de reconhecer linearidade é verificar que cada componente de L é uma combinação linear das coordenadas (x,y,z) sem termos constantes (ou seja, pode ser escrita como uma multiplicação por uma matriz).
Passo 3
Verificação da aditividade passo a passo. Tome \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2). Então
Verificação alternativa (matriz): cada coordenada de L é uma combinação linear das entradas (x,y,z) sem termo independente, logo existe uma matriz A tal que L(\mathbf{v})=A\mathbf{v} para todo \mathbf{v}. Escrevendo essa matriz,
e de fato para \mathbf{v}=(x,y,z) tem-se A\mathbf{v}=(x+y,\;0,\;2x-z)=L(x,y,z). Qualquer aplicação dada por multiplicação por matriz é linear. Isso confirma a conclusão obtida nos passos anteriores.]