Quais das seguintes são transformações lineares?
L(x, y, z)=(x+y, 0,2 x-z)

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
L(x,y,z) = (x+y,\;0,\;2x-z).
Pergunta: essa aplicação é uma transformação linear (ou seja, é linear de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3)?
Informações relevantes: a regra de L fornece cada coordenada como combinação dos argumentos x,y,z; não há termos constantes aparentes além de 0 na segunda coordenada.

Passo 2

Lembrete da definição (explicado devagar): uma aplicação \;L: V\to W\; entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v}\in V e qualquer escalar c, valerem as duas propriedades abaixo:
\text{(aditividade)}\quad L(\mathbf{u}+\mathbf{v})=L(\mathbf{u})+L(\mathbf{v}),
\text{(homogeneidade)}\quad L(c\mathbf{u})=c\,L(\mathbf{u}).
Aqui \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2) são vetores genéricos de \mathbb{R}^3 e c\in\mathbb{R} é um escalar. Se quisermos, uma forma direta de reconhecer linearidade é verificar que cada componente de L é uma combinação linear das coordenadas (x,y,z) sem termos constantes (ou seja, pode ser escrita como uma multiplicação por uma matriz).

Passo 3

Verificação da aditividade passo a passo. Tome \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2). Então
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Aplicando L a \mathbf{u}+\mathbf{v},
L(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \big((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;0,\;2(x_1+x_2)-(z_1+z_2)\big).
Agrupando termos,
L(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \big((x_1+y_1)+(x_2+y_2),\;0,\;(2x_1-z_1)+(2x_2-z_2)\big).
Agora calcule L(\mathbf{u})+L(\mathbf{v}). Temos
L(\mathbf{u})=(x_1+y_1,\;0,\;2x_1-z_1),
L(\mathbf{v})=(x_2+y_2,\;0,\;2x_2-z_2).
Somando:
L(\mathbf{u})+L(\mathbf{v})=\big((x_1+y_1)+(x_2+y_2),\;0+0,\;(2x_1-z_1)+(2x_2-z_2)\big).
Compare as expressões: elas coincidem coordenada a coordenada. Portanto
L(\mathbf{u}+\mathbf{v})=L(\mathbf{u})+L(\mathbf{v}).

Passo 4

Verificação da homogeneidade passo a passo. Tome um escalar c\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x,y,z). Então c\mathbf{u}=(cx,cy,cz). Aplicando L,
L(c\mathbf{u}) = (cx+cy,\;0,\;2(cx)-cz) = (c(x+y),\;0,\;c(2x-z)).
Por outro lado,
c\,L(\mathbf{u})=c\,(x+y,\;0,\;2x-z) = (c(x+y),\;0,\;c(2x-z)).
As duas expressões são idênticas, logo
L(c\mathbf{u})=c\,L(\mathbf{u}).

Passo 5

Verificação alternativa (matriz): cada coordenada de L é uma combinação linear das entradas (x,y,z) sem termo independente, logo existe uma matriz A tal que L(\mathbf{v})=A\mathbf{v} para todo \mathbf{v}. Escrevendo essa matriz,
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 0 & -1 \end{pmatrix},
e de fato para \mathbf{v}=(x,y,z) tem-se A\mathbf{v}=(x+y,\;0,\;2x-z)=L(x,y,z). Qualquer aplicação dada por multiplicação por matriz é linear. Isso confirma a conclusão obtida nos passos anteriores.]

Resposta

Sim, L é uma transformação linear.

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