Sejam as seguintes matrizes nos itens abaixo. Determine se a matriz A é diagonalizável. Caso positivo, encontre uma matriz D, diagonal e uma matriz P, tal que D=P^{-1} A P :
A=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi fornecido.
  • Foi dada a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
  • Pergunta 1: Determinar se A é diagonalizável.
  • Pergunta 2: Caso positivo, encontrar uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que
D = P^{-1} A P.]

Passo 2

O que significa “diagonalizável” — ideia e critério prático.
  • Uma matriz A de ordem n é diagonalizável se existe uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que D=P^{-1}AP.
  • Um critério prático muito usado: A é diagonalizável se e somente se existe um conjunto de n autovetores linearmente independentes de A. Em termos de autovalores, isso equivale a que a soma das dimensões dos espaços próprios (geometric multiplicities) seja n.
  • Para um autovalor \lambda, a multiplicidade algébrica é a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico; a multiplicidade geométrica é \dim\ker(A-\lambda I). Se, para algum autovalor, a multiplicidade geométrica for menor que a multiplicidade algébrica, então A não é diagonalizável.

Passo 3

Calcular o polinômio característico e os autovalores.
  • O polinômio característico é
\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 0 \\[4pt] 1 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
  • Calculando o determinante:
\chi_A(\lambda)=(2-\lambda)(2-\lambda)=(2-\lambda)^2.]

Passo 4

Encontrar os autovalores e suas multiplicidades.
  • Da expressão (2-\lambda)^2 temos que o único autovalor é \lambda=2 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 5

Calcular o espaço próprio associado a \lambda=2 (autovetores) e sua dimensão.
  • Precisamos resolver (A-2I)v=0. Escrevendo a matriz:
A-2I=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
  • Se v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}, o sistema (A-2I)v=0 dá as equações
0\cdot x + 0\cdot y = 0,
1\cdot x + 0\cdot y = 0.
  • Da segunda equação obtemos x=0. A primeira é sempre satisfeita. Portanto os vetores próprios têm a forma
v=\begin{pmatrix}0\\[4pt] y\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad y\in\mathbb{R}.
  • Logo o espaço próprio associado a \lambda=2 é gerado por \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} e tem dimensão 1. Ou seja, a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 1.]

Passo 6

Conclusão sobre diagonalizabilidade e explicação final.
  • Comparando multiplicidades: a multiplicidade algébrica de \lambda=2 é 2, mas sua multiplicidade geométrica é 1.
  • Como para ser diagonalizável é necessário que, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica seja igual à multiplicidade algébrica (ou equivalentemente existir n autovetores independentes), aqui isso não ocorre: há apenas uma direção própria independente.
  • Portanto não existe matriz inversível P que transforme A em uma matriz diagonal D por similaridade.
  • Interpretação intuitiva: A é semelhante a uma matriz de Jordan de bloco 2\times2 com autovalor 2, ou seja, tem uma cadeia de tamanho 2 de vetores generalizados, não podendo ser diagonalizada.

Resposta

\,A\, não é diagonalizável.

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