Sejam as seguintes matrizes nos itens abaixo. Determine se a matriz A é diagonalizável. Caso positivo, encontre uma matriz D, diagonal e uma matriz P, tal que D=P^{-1} A P : A=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi fornecido.
Foi dada a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
Pergunta 1: Determinar se A é diagonalizável.
Pergunta 2: Caso positivo, encontrar uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que
D = P^{-1} A P.]
Passo 2
O que significa “diagonalizável” — ideia e critério prático.
Uma matriz A de ordem n é diagonalizável se existe uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que D=P^{-1}AP.
Um critério prático muito usado: A é diagonalizável se e somente se existe um conjunto de n autovetores linearmente independentes de A. Em termos de autovalores, isso equivale a que a soma das dimensões dos espaços próprios (geometric multiplicities) seja n.
Para um autovalor \lambda, a multiplicidade algébrica é a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico; a multiplicidade geométrica é \dim\ker(A-\lambda I). Se, para algum autovalor, a multiplicidade geométrica for menor que a multiplicidade algébrica, então A não é diagonalizável.
Passo 3
Calcular o polinômio característico e os autovalores.
Logo o espaço próprio associado a \lambda=2 é gerado por \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} e tem dimensão 1. Ou seja, a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 1.]
Passo 6
Conclusão sobre diagonalizabilidade e explicação final.
Comparando multiplicidades: a multiplicidade algébrica de \lambda=2 é 2, mas sua multiplicidade geométrica é 1.
Como para ser diagonalizável é necessário que, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica seja igual à multiplicidade algébrica (ou equivalentemente existir n autovetores independentes), aqui isso não ocorre: há apenas uma direção própria independente.
Portanto não existe matriz inversível P que transforme A em uma matriz diagonal D por similaridade.
Interpretação intuitiva: A é semelhante a uma matriz de Jordan de bloco 2\times2 com autovalor 2, ou seja, tem uma cadeia de tamanho 2 de vetores generalizados, não podendo ser diagonalizada.