Quais das seguintes são transformações lineares?
L(x, y)=(x-y, 0,2 x+3)

Passo 1

O enunciado dá a transformação L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
L(x,y)=(x-y,\;0,\;2x+3).
A pergunta é: esta transformação é linear?

Passo 2

O que significa “linear”? Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear quando satisfaz duas propriedades para todos os vetores u,v e todo escalar c:
T(u+v)=T(u)+T(v), \qquad T(c\,u)=c\,T(u).
Uma consequência imediata (muito útil como teste rápido) é que a transformação linear deve enviar o vetor nulo no domínio para o vetor nulo no contradomínio:
T(0)=0.
Prova curta dessa consequência: T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0) implica T(0)=0; ou use homogeneidade: T(0)=T(0\cdot v)=0\cdot T(v)=0.

Passo 3

Vamos aplicar o teste rápido ao L dado: calcule L(0,0). Substituindo x=0 e y=0 em cada componente,
L(0,0)=(0-0,\;0,\;2\cdot0+3)=(0,\;0,\;3).

Passo 4

Comparando com o vetor nulo em \mathbb{R}^3, que é (0,0,0), vemos que
L(0,0)=(0,0,3)\neq(0,0,0).
Portanto L não envia o zero em \mathbb{R}^2 para o zero em \mathbb{R}^3, logo L não pode ser linear. Isso já basta para concluir.

Passo 5

Para reforçar, dá pra mostrar um exemplo explícito de falha da propriedade de homogeneidade. Tome v=(1,0). Então
L(1,0)=(1-0,\;0,\;2\cdot1+3)=(1,\;0,\;5).
Multiplicando por 2:
2\,L(1,0)=(2,\;0,\;10).
Agora calcule L(2\cdot(1,0))=L(2,0):
L(2,0)=(2-0,\;0,\;2\cdot2+3)=(2,\;0,\;7).
Como (2,0,10)\neq(2,0,7), a homogeneidade falha na prática, confirmando que L não é linear.

Passo 6

Interpretação estrutural: pode escrever L como soma de uma parte linear e uma constante:
L(x,y)=\underbrace{(x-y,\;0,\;2x)}_{\text{linear}}+\underbrace{(0,\;0,\;3)}_{\text{constante}}.
A parte constante (0,0,3)\neq(0,0,0) faz com que L seja uma transformação afim (linear mais deslocamento), não uma transformação linear pura. Se a constante fosse zero, a parte linear poderia ser representada por uma matriz
A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt] 0 & 0\\[2pt] 2 & 0\end{pmatrix},
mas como há o vetor constante, não existe matriz única A tal que L(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} para todos (x,y).]

Passo 7

Dica rápida para a prova: ao ver uma transformação, primeiro calcule T(0). Se der diferente de 0, pode finalizar ali — não é linear. Isso economiza tempo.

Resposta

Não; L não é linear, pois L(0,0)=(0,0,3)\neq(0,0,0).

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