Quais das seguintes são transformações lineares? L(x, y)=(x-y, 0,2 x+3)
Passo 1
O enunciado dá a transformação L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
L(x,y)=(x-y,\;0,\;2x+3).
A pergunta é: esta transformação é linear?
Passo 2
O que significa “linear”? Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear quando satisfaz duas propriedades para todos os vetores u,v e todo escalar c:
T(u+v)=T(u)+T(v), \qquad T(c\,u)=c\,T(u).
Uma consequência imediata (muito útil como teste rápido) é que a transformação linear deve enviar o vetor nulo no domínio para o vetor nulo no contradomínio:
T(0)=0.
Prova curta dessa consequência: T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0) implica T(0)=0; ou use homogeneidade: T(0)=T(0\cdot v)=0\cdot T(v)=0.
Passo 3
Vamos aplicar o teste rápido ao L dado: calcule L(0,0). Substituindo x=0 e y=0 em cada componente,
L(0,0)=(0-0,\;0,\;2\cdot0+3)=(0,\;0,\;3).
Passo 4
Comparando com o vetor nulo em \mathbb{R}^3, que é (0,0,0), vemos que
L(0,0)=(0,0,3)\neq(0,0,0).
Portanto L não envia o zero em \mathbb{R}^2 para o zero em \mathbb{R}^3, logo L não pode ser linear. Isso já basta para concluir.
Passo 5
Para reforçar, dá pra mostrar um exemplo explícito de falha da propriedade de homogeneidade. Tome v=(1,0). Então
L(1,0)=(1-0,\;0,\;2\cdot1+3)=(1,\;0,\;5).
Multiplicando por 2:
2\,L(1,0)=(2,\;0,\;10).
Agora calcule L(2\cdot(1,0))=L(2,0):
L(2,0)=(2-0,\;0,\;2\cdot2+3)=(2,\;0,\;7).
Como (2,0,10)\neq(2,0,7), a homogeneidade falha na prática, confirmando que L não é linear.
Passo 6
Interpretação estrutural: pode escrever L como soma de uma parte linear e uma constante:
A parte constante (0,0,3)\neq(0,0,0) faz com que L seja uma transformação afim (linear mais deslocamento), não uma transformação linear pura. Se a constante fosse zero, a parte linear poderia ser representada por uma matriz
mas como há o vetor constante, não existe matriz única A tal que L(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} para todos (x,y).]
Passo 7
Dica rápida para a prova: ao ver uma transformação, primeiro calcule T(0). Se der diferente de 0, pode finalizar ali — não é linear. Isso economiza tempo.
Resposta
Não; L não é linear, pois L(0,0)=(0,0,3)\neq(0,0,0).