Encontre os autovalores e autovetores da matriz:
Passo 1
O enunciado fornece a matriz
e pede que encontremos os autovalores e autovetores de
.
Informações dadas:
- Entradas da matriz:
, , , .
O que o problema pergunta:
- Quais são os autovalores
de . - Para cada autovalor, encontrar um autovetor não-nulo
tal que .]
Passo 2
Definição e método prático (passo-a-passo didático):
- Um autovalor
e um autovetor satisfazem
- Isso é equivalente a
ou seja, o sistema homogêneo
deve ter solução não-trivial. Para isso é necessário (e suficiente) que
- Para uma matriz
, se
então
Vamos aplicar isso para encontrar o polinómio característico de
: calcular
.]
Passo 3
Cálculo do polinómio característico:
Usando a fórmula do determinante para
,
Expandindo:
Subtraindo
obtemos o polinómio característico
Passo 4
Encontrar os autovalores resolvendo o polinómio característico:
Tentando fatorar, procuramos dois números cujo produto seja
e soma seja
. Esses números são
e
. Assim
Portanto os autovalores são
Passo 5
Encontrar o autovetor associado a
.
Montamos :
Montamos
Resolvemos
. Se
, as equações são
(ambas iguais, como esperado). Da primeira equação vem
. Para obter um autovetor não-nulo escolhemos uma convenção simples: tomar
. Assim
Um autovetor correspondente a
é
Observação útil: qualquer múltiplo escalar de
também é autovetor correspondente a
.]
Passo 6
Encontrar o autovetor associado a
.
Montamos :
Montamos
Resolvendo
com
obtemos as equações
Ambas são equivalentes e dão
. Tomando
(escolha simples), obtemos
. Assim um autovetor correspondente a
é
Novamente, qualquer múltiplo escalar de
também serve.]
Passo 7
Breve comentário final (didático):
- Os autovalores encontrados são distintos (
e ), isso garante que existem dois autovetores linearmente independentes (como os que encontramos). Na prática de prova: calcule sempre o polinómio característico, fatorize se possível; para cada raiz resolva escolhendo uma variável livre e definindo um autovetor simples (por exemplo definindo quando conveniente).