Encontre os autovalores e autovetores das matrizes complexas abaixo.
A=\left(\begin{array}{cc}2 & i \\\\ -i & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre os autovalores e autovetores” da matriz complexa abaixo. As informações dadas são apenas a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & i \\[4pt] -i & 2\end{pmatrix}.]

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que é pedir os autovalores e autovetores. Um número \lambda é autovalor de A se existe vetor não nulo v tal que
Av=\lambda v.
Para encontrar os autovalores calculamos o polinômio característico, isto é resolvemos
\det(A-\lambda I)=0.
Aplicando isso à matriz dada:
\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & i \\[4pt] -i & 2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)^2 - i(-i).
Agora calculamos i(-i). Como i^2=-1, temos i(-i)=-i^2=1. Assim
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^2-1.
Igualando a zero:
(2-\lambda)^2-1=0 \quad\Longrightarrow\quad (2-\lambda)^2=1.
Tomando raiz:
2-\lambda= \pm 1.
Portanto os autovalores são
\lambda_1=2+1=3,\qquad \lambda_2=2-1=1.]

Passo 3

Agora achamos os autovetores correspondentes a \lambda_1=3. Devemos resolver
(A-3I)v=0,
ou explicitamente
\begin{pmatrix}2-3 & i \\[4pt] -i & 2-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & i \\[4pt] -i & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
As equações são
- x + i y = 0,
- i x - y = 0.
Da primeira equação obtemos x = i y. Substituindo na segunda obtemos a mesma equação (ela é dependente), então temos infinitos vetores escalares múltiplos de uma base. Tomando y=1 para simplificar, um autovetor é
v^{(1)}=\begin{pmatrix}i\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Se preferirmos uma forma com a primeira componente igual a 1, multiplicamos por -i (multiplicar por escalar complexo preserva ser autovetor) e obtemos
\begin{pmatrix}1\\[4pt]-i\end{pmatrix}.
Para obter um vetor unitário (normalizado) usamos a norma em \mathbb{C}^2: para w=(w_1,w_2) a norma é \|w\|=\sqrt{|w_1|^2+|w_2|^2}, onde |z| é o módulo do número complexo z. Aqui |1|^2=1 e |-i|^2=1, então \|(1,-i)\|=\sqrt{2}. O autovetor unitário correspondente é
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-i\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora para \lambda_2=1 resolvemos
(A-1I)v=0,
ou
\begin{pmatrix}2-1 & i \\[4pt] -i & 2-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & i \\[4pt] -i & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
As equações são
x + i y = 0,
- i x + y = 0.
Da primeira equação obtemos x = -i y. Tomando y=1 temos um autovetor
v^{(2)}=\begin{pmatrix}-i\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Multiplicando por i para ter primeira componente 1, obtemos \begin{pmatrix}1\\[4pt]i\end{pmatrix}. A norma desse vetor é também \sqrt{2}, logo o vetor unitário correspondente é
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]i\end{pmatrix}.]

Passo 5

Pequena verificação de consistência (útil na hora da prova): a matriz A é hermitiana (igual à sua conjugada transposta), então os autovalores devem ser reais e autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais no produto interno complexo. Verificamos que \lambda_1=3 e \lambda_2=1 são reais, e que os vetores escolhidos são ortogonais:
\langle (1,-i),(1,i)\rangle=\overline{1}\cdot 1 + \overline{-i}\cdot i = 1 + i\cdot i = 1 + i^2 = 0.
Tudo consistente — você conseguiu!

Resposta

\lambda_1=3, autovetor (não normalizado) \begin{pmatrix}i\\[4pt]1\end{pmatrix} (vetor com primeira componente 1: \begin{pmatrix}1\\[4pt]-i\end{pmatrix}; normalizado \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-i\end{pmatrix}).
\lambda_2=1, autovetor (não normalizado) \begin{pmatrix}-i\\[4pt]1\end{pmatrix} (vetor com primeira componente 1: \begin{pmatrix}1\\[4pt]i\end{pmatrix}; normalizado \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]i\end{pmatrix}).]

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