Encontre os autovalores e os autovetores das matrizes. Determine as bases dos autoespaços correspondentes. Aplique, se possível, a diagonalização (não ortogonal) A=P D P^{-1} as matrizes.
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ -3 & 5 & 2\end{array}\right]

Passo 1

Temos a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ -3& 5 & 2 \end{pmatrix}.
O objetivo é achar os autovalores e autovetores de A, determinar bases dos autoespaços e, se possível, escrever A=PDP^{-1}. Para isso usamos teoria de diagonalização: calcular o polinômio característico, resolver (A-\lambda I)x=0 e verificar se há três autovetores independentes.

Passo 2

Como A é triangular inferior, seus autovalores são as entradas da diagonal. Logo o polinômio característico é
p(\lambda)=\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)\,(2-\lambda)\,(2-\lambda) =(1-\lambda)\,(2-\lambda)^2.
Portanto os autovalores são \lambda_{1}=1 (multiplicidade algébrica 1) e \lambda_{2}=2 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 3

Para \lambda_{1}=1 resolvemos
(A - I) x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ -3 & 5 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y \\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{pmatrix}.
Da segunda equação vem x + y = 0, isto é y = -x. Da terceira vem -3x + 5y + z = 0, substituindo y = -x -3x - 5x + z = 0 \Rightarrow z = 8x.
Logo um gerador do autoespaço é
v_{1} = (1,\,-1,\,8)^{T},
e a base do autoespaço associado a \lambda_{1} = 1 é \{v_{1}\}.

Passo 4

Para \lambda_{2}=2 resolvemos
(A-2I)x=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} -1&0&0\\\\ 1&0&0\\\\ -3&5&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha vem x=0. Na terceira linha fica -3\cdot0+5y=0\Rightarrow y=0. Logo z é livre e podemos tomar
v_{2}=(0,\,0,\,1)^{T}.
A base do autoespaço para \lambda_{2}=2 é \{v_{2}\}.

Passo 5

Contamos vetores independentes: um para \lambda_{1} e um para \lambda_{2}, totalizando 2 não nulos. Mas como a soma das multiplicidades algébricas é 3, precisaríamos de 3 autovetores independentes para diagonalizar. Aqui o autoespaço de \lambda_{2} tem dimensão 1 (< 2).

Resposta

Autovalores:
\lambda_{1}=1 com base do autoespaço \{(1,-1,8)^T\},
\lambda_{2}=2 com base do autoespaço \{(0,0,1)^T\}.
Como não há 3 autovetores linearmente independentes, A não é diagonalizável.

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