Encontre os autovalores e os autovetores das matrizes. Determine as bases dos autoespaços correspondentes. Aplique, se possível, a diagonalização (não ortogonal) A=P D P^{-1} as matrizes. A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ -3 & 5 & 2\end{array}\right]
O objetivo é achar os autovalores e autovetores de A, determinar bases dos autoespaços e, se possível, escrever A=PDP^{-1}. Para isso usamos teoria de diagonalização: calcular o polinômio característico, resolver (A-\lambda I)x=0 e verificar se há três autovetores independentes.
Passo 2
Como A é triangular inferior, seus autovalores são as entradas da diagonal. Logo o polinômio característico é
Da segunda equação vem x + y = 0, isto é y = -x. Da terceira vem -3x + 5y + z = 0, substituindo y = -x dá -3x - 5x + z = 0 \Rightarrow z = 8x.
Logo um gerador do autoespaço é
v_{1} = (1,\,-1,\,8)^{T},
e a base do autoespaço associado a \lambda_{1} = 1 é \{v_{1}\}.
Da primeira linha vem x=0. Na terceira linha fica -3\cdot0+5y=0\Rightarrow y=0. Logo z é livre e podemos tomar
v_{2}=(0,\,0,\,1)^{T}.
A base do autoespaço para \lambda_{2}=2 é \{v_{2}\}.
Passo 5
Contamos vetores independentes: um para \lambda_{1} e um para \lambda_{2}, totalizando 2 não nulos. Mas como a soma das multiplicidades algébricas é 3, precisaríamos de 3 autovetores independentes para diagonalizar. Aqui o autoespaço de \lambda_{2} tem dimensão 1 (<2).
Resposta
Autovalores: \lambda_{1}=1 com base do autoespaço \{(1,-1,8)^T\}, \lambda_{2}=2 com base do autoespaço \{(0,0,1)^T\}.
Como não há 3 autovetores linearmente independentes, A não é diagonalizável.