Encontre os autovalores e os autovetores das matrizes. Determine as bases dos autoespaços correspondentes. Aplique, se possível, a diagonalização (não ortogonal) A=P D P^{-1} as matrizes. A=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[6pt] 1 & 2\end{pmatrix},
determinar uma base de cada autoespaço e, se possível, escrever A=PDP^{-1}. Vamos usar a teoria de autovalores de matrizes quadradas: calcular o polinômio característico, achar seus zeros (autovalores) e resolver (A-\lambda I)x=0 para cada \lambda (autovetores). Depois comparamos a dimensão dos autoespaços com a multiplicidade algébrica para ver se A é diagonalizável.]
O autovalor \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2, mas o autoespaço E_{2} é de dimensão 1. Como a dimensão do somatório dos autoespaços (aqui apenas um) é menor que 2, concluímos que Anão é diagonalizável. Logo não existe decomposição A=PDP^{-1} com D diagonal.
Resposta
O único autovalor é \lambda=2 (multiplicidade algébrica 2).
Um autovetor não nulo é \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}, formando base do autoespaço.
Como o autoespaço tem dimensão 1, A não é diagonalizável.