Encontre os autovalores e os autovetores das matrizes. Determine as bases dos autoespaços correspondentes. Aplique, se possível, a diagonalização (não ortogonal) A=P D P^{-1} as matrizes.
A=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[6pt] 1 & 2\end{pmatrix},
determinar uma base de cada autoespaço e, se possível, escrever A=PDP^{-1}. Vamos usar a teoria de autovalores de matrizes quadradas: calcular o polinômio característico, achar seus zeros (autovalores) e resolver (A-\lambda I)x=0 para cada \lambda (autovetores). Depois comparamos a dimensão dos autoespaços com a multiplicidade algébrica para ver se A é diagonalizável.]

Passo 2

Para achar os autovalores, calculamos
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}2-\lambda & 0 \\[4pt]1 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)\,(2-\lambda) = (2-\lambda)^{2}.
A equação (2-\lambda)^{2}=0 dá um único autovalor
\lambda = 2
com multiplicidade algébrica igual a 2.]

Passo 3

Agora achamos os autovetores resolvendo
(A - 2I)x = \begin{pmatrix}2-2 & 0 \\[4pt]1 & 2-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[3pt]x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[3pt]x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[3pt]0\end{pmatrix}.
Da segunda linha vem 1\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}=0, logo x_{1}=0 e x_{2} é livre. Portanto o espaço próprio associado a \lambda=2 é
E_{2} = \bigl\{(0,x_{2}) : x_{2}\neq0\bigr\},
e uma base desse autoespaço é
\bigl\{\,\begin{pmatrix}0\\[3pt]1\end{pmatrix}\bigr\}.]

Passo 4

O autovalor \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2, mas o autoespaço E_{2} é de dimensão 1. Como a dimensão do somatório dos autoespaços (aqui apenas um) é menor que 2, concluímos que A não é diagonalizável. Logo não existe decomposição A=PDP^{-1} com D diagonal.

Resposta

O único autovalor é
\lambda=2 (multiplicidade algébrica 2).
Um autovetor não nulo é \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}, formando base do autoespaço.
Como o autoespaço tem dimensão 1, A não é diagonalizável.

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