calcular todos os valores escalares \lambda tais que existe vetor não-nulo v satisfazendo Bv=\lambda v (esses \lambda são os autovalores);
para cada autovalor encontrado, determinar todos os vetores não-nulos v que satisfazem Bv=\lambda v (esses são os autovetores).]
Passo 2
Conceito e plano de ação (didático e prático):
Um número \lambda é autovalor de B se e somente se a matriz B-\lambda I for singular, isto é, tiver determinante zero. Aqui I é a matriz identidade 2\times2:
Comentário útil (truquezinho): como B é triangular superior, os autovalores aparecem diretamente nas entradas da diagonal, \;2 e \;3\;. Isso é sempre verdade para matrizes triangulares.
Passo 4
Encontrar autovetores associados a \lambda=2\):
Devemos resolver
\[(B-2I)v=0.
Se denotarmos o vetor v por v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}, o sistema linear equivalente é
\begin{cases} 0\cdot x + 1\cdot y =0,\\[4pt] 0\cdot x + 1\cdot y =0. \end{cases}
Ambas as equações são idênticas e dão y=0\]. A variável \(x fica livre (não aparece nas equações), então podemos escolher x arbitrário diferente de zero para obter um autovetor não-nulo. Assim os autovetores associados a \lambda=2 têm a forma
Uma escolha padrão e simples é tomar x=1, obtendo o autovetor
\begin{pmatrix}1\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Observação didática: um autovetor nunca pode ser o vetor nulo; por isso escrevemos a família de vetores escalares múltiplos de \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]
Passo 5
Encontrar autovetores associados a \lambda=3\):
Devemos resolver
\[(B-3I)v=0.
Temos dois autovalores distintos \;2 e \;3, e os autovetores escolhidos \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} são linearmente independentes (pode verificar que nenhum é múltiplo do outro). Isso está de acordo com a expectativa: para matrizes 2\times2 com autovalores distintos costumamos encontrar dois autovetores independentes, o que é uma boa notícia para diagonalização se você precisar disso depois. Força — você já entendeu o procedimento padrão: calcular o polinômio característico e depois resolver (B-\lambda I)v=0 para cada raiz.]