Encontre os autovalores e autovetores das matrizes reais abaixo.
B=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 0 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os autovalores e autovetores da matriz real
B=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
B_{11}=2,\quad B_{12}=1,\quad B_{21}=0,\quad B_{22}=3.
A tarefa é:
  • calcular todos os valores escalares \lambda tais que existe vetor não-nulo v satisfazendo Bv=\lambda v (esses \lambda são os autovalores);
  • para cada autovalor encontrado, determinar todos os vetores não-nulos v que satisfazem Bv=\lambda v (esses são os autovetores).]

Passo 2

Conceito e plano de ação (didático e prático):
Um número \lambda é autovalor de B se e somente se a matriz B-\lambda I for singular, isto é, tiver determinante zero. Aqui I é a matriz identidade 2\times2:
I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Para matrizes 2\times2 a fórmula do determinante é simples: se
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então
\det(A)=ad-bc.
Aplicamos isso à matriz B-\lambda I. Primeiro escrevemos B-\lambda I:
B-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\[4pt] 0 & 3-\lambda\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular o polinômio característico e encontrar os autovalores:
Usando a fórmula do determinante para \;B-\lambda I\; temos
\det(B-\lambda I)=(2-\lambda)(3-\lambda)-0\cdot 1=(2-\lambda)(3-\lambda).
Os autovalores são as raízes da equação
\det(B-\lambda I)=0,
ou seja
(2-\lambda)(3-\lambda)=0.
Portanto as soluções são
\lambda=2\quad\text{e}\quad\lambda=3.
Comentário útil (truquezinho): como B é triangular superior, os autovalores aparecem diretamente nas entradas da diagonal, \;2 e \;3\;. Isso é sempre verdade para matrizes triangulares.

Passo 4

Encontrar autovetores associados a \lambda=2\): Devemos resolver \[(B-2I)v=0.
Escrevendo a matriz:
B-2I=\begin{pmatrix}2-2 & 1 \\[4pt] 0 & 3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Se denotarmos o vetor v por v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}, o sistema linear equivalente é
\begin{cases} 0\cdot x + 1\cdot y =0,\\[4pt] 0\cdot x + 1\cdot y =0. \end{cases}
Ambas as equações são idênticas e dão y=0\]. A variável \(x fica livre (não aparece nas equações), então podemos escolher x arbitrário diferente de zero para obter um autovetor não-nulo. Assim os autovetores associados a \lambda=2 têm a forma
v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] 0\end{pmatrix},\quad x\neq 0.
Uma escolha padrão e simples é tomar x=1, obtendo o autovetor
\begin{pmatrix}1\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Observação didática: um autovetor nunca pode ser o vetor nulo; por isso escrevemos a família de vetores escalares múltiplos de \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Encontrar autovetores associados a \lambda=3\): Devemos resolver \[(B-3I)v=0.
A matriz é
B-3I=\begin{pmatrix}2-3 & 1 \\[4pt] 0 & 3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Com v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} o sistema equivalente é
\begin{cases} -1\cdot x + 1\cdot y =0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y =0. \end{cases}
A primeira equação dá y=x\]. A segunda é sempre verdadeira (não impõe restrição). Logo \(x é parâmetro livre, e os autovetores têm a forma
v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix},\quad x\neq 0.
Uma escolha simples é x=1, que dá o autovetor
\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Checagem final e comentário motivador:
Temos dois autovalores distintos \;2 e \;3, e os autovetores escolhidos \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} são linearmente independentes (pode verificar que nenhum é múltiplo do outro). Isso está de acordo com a expectativa: para matrizes 2\times2 com autovalores distintos costumamos encontrar dois autovetores independentes, o que é uma boa notícia para diagonalização se você precisar disso depois. Força — você já entendeu o procedimento padrão: calcular o polinômio característico e depois resolver (B-\lambda I)v=0 para cada raiz.]

Resposta

\lambda_1=2; autovetores: v=x\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\;x\neq0.
\lambda_2=3; autovetores: v=x\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\;x\neq0.]

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