Determinar T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right), cuja matriz em relação à base \beta=\{(1,2),(0,5)\} é (T)_{\beta}=\left(\begin{array}{cc}3 & -1 \\\\ 2 & -1\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine a transformação linear T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2) cuja matriz em relação à base \beta=\{(1,2),(0,5)\} é
e as coordenadas de T na base \beta são as colunas da matriz acima (ou seja, as colunas representam as coordenadas dos vetores T(\beta_1) e T(\beta_2) na base \beta).]
Passo 2
Ideia-chave (sem ainda calcular): se P é a matriz de mudança de base que tem como colunas os vetores da base \beta escritos na base canônica, então a matriz de T na base canônica (matriz padrão) é dada por
[T]_{\text{can}} = P\,(T)_{\beta}\,P^{-1}.
Aqui explico o que é cada coisa:
P é a matriz cujas colunas são \beta_1 e \beta_2 expressos na base padrão (ou canônica).
(T)_{\beta} é a matriz dada no enunciado.
P^{-1} converte coordenadas da base canônica de volta para coordenadas na base \beta.
Essa fórmula transforma as coordenadas relativas à base \beta para coordenadas na base canônica, que é o que pedimos ao "determinar T" no espaço habitual \mathbb{R}^2.
Passo 3
Construção explícita de P. As colunas de P são \beta_1=(1,2) e \beta_2=(0,5) (escritos na base canônica), logo
A inversa de uma matriz 2\times2\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} é \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}. Aplicando a P,