Determinar T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right), cuja matriz em relação à base \beta=\{(1,2),(0,5)\} é (T)_{\beta}=\left(\begin{array}{cc}3 & -1 \\\\ 2 & -1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a transformação linear T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2) cuja matriz em relação à base \beta=\{(1,2),(0,5)\} é
(T)_{\beta}=\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
Informações dadas que vamos usar:
\beta_1=(1,2),\qquad \beta_2=(0,5),
e as coordenadas de T na base \beta são as colunas da matriz acima (ou seja, as colunas representam as coordenadas dos vetores T(\beta_1) e T(\beta_2) na base \beta).]

Passo 2

Ideia-chave (sem ainda calcular): se P é a matriz de mudança de base que tem como colunas os vetores da base \beta escritos na base canônica, então a matriz de T na base canônica (matriz padrão) é dada por
[T]_{\text{can}} = P\,(T)_{\beta}\,P^{-1}.
Aqui explico o que é cada coisa:
  • P é a matriz cujas colunas são \beta_1 e \beta_2 expressos na base padrão (ou canônica).
  • (T)_{\beta} é a matriz dada no enunciado.
  • P^{-1} converte coordenadas da base canônica de volta para coordenadas na base \beta.
    Essa fórmula transforma as coordenadas relativas à base \beta para coordenadas na base canônica, que é o que pedimos ao "determinar T" no espaço habitual \mathbb{R}^2.

Passo 3

Construção explícita de P. As colunas de P são \beta_1=(1,2) e \beta_2=(0,5) (escritos na base canônica), logo
P=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular P^{-1}. Primeiro o determinante:
\det(P)=1\cdot 5 - 0\cdot 2 = 5.
A inversa de uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} é \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}. Aplicando a P,
P^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}5 & 0 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -\dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Multiplicar P por (T)_{\beta}. Use
(T)_{\beta}=\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
Calculando P\,(T)_{\beta}:
P\,(T)_{\beta}= \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 3 + 0\cdot 2 & 1\cdot(-1) + 0\cdot(-1) \\[6pt] 2\cdot 3 + 5\cdot 2 & 2\cdot(-1) + 5\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 16 & -7\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora calcule [T]_{\text{can}}=(P\,(T)_{\beta})\,P^{-1}. Fazendo a multiplicação
\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 16 & -7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -\dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{5}\end{pmatrix}.
Calcule entrada por entrada:
Primeira linha:
  • elemento (1,1): 3\cdot 1 + (-1)\cdot\left(-\dfrac{2}{5}\right)=3 + \dfrac{2}{5}=\dfrac{15}{5}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{17}{5}.
  • elemento (1,2): 3\cdot 0 + (-1)\cdot\dfrac{1}{5}= -\dfrac{1}{5}.
Segunda linha:
  • elemento (2,1): 16\cdot 1 + (-7)\cdot\left(-\dfrac{2}{5}\right)=16 + \dfrac{14}{5}=\dfrac{80}{5}+\dfrac{14}{5}=\dfrac{94}{5}.
  • elemento (2,2): 16\cdot 0 + (-7)\cdot\dfrac{1}{5}= -\dfrac{7}{5}.
Portanto
[T]_{\text{can}}=\begin{pmatrix}\dfrac{17}{5} & -\dfrac{1}{5} \\[6pt] \dfrac{94}{5} & -\dfrac{7}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Escrever T explicitamente como aplicação em coordenadas canônicas. Para v=(x,y)\in\mathbb{R}^2 (coordenadas canônicas), temos
T(x,y)=\begin{pmatrix}\dfrac{17}{5} & -\dfrac{1}{5} \\[6pt] \dfrac{94}{5} & -\dfrac{7}{5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{17}{5}x - \dfrac{1}{5}y \\[6pt] \dfrac{94}{5}x - \dfrac{7}{5}y \end{pmatrix} =\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}17x - y \\[6pt] 94x - 7y\end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida (opcional, só pra dar confiança): calcule T nas vetores da base \beta usando a matriz encontrada:
  • Para \beta_1=(1,2):
T(1,2)=\begin{pmatrix}\dfrac{17}{5}\cdot 1 - \dfrac{1}{5}\cdot 2 \\[4pt] \dfrac{94}{5}\cdot 1 - \dfrac{7}{5}\cdot 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{17-2}{5} \\[4pt] \dfrac{94-14}{5}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{15}{5} \\[4pt] \dfrac{80}{5}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\[4pt]16\end{pmatrix},
que coincide com T(\beta_1)=3\beta_1+2\beta_2=3(1,2)+2(0,5)=(3,16).
  • Para \beta_2=(0,5):
T(0,5)=\begin{pmatrix}\dfrac{17}{5}\cdot 0 - \dfrac{1}{5}\cdot 5 \\[4pt] \dfrac{94}{5}\cdot 0 - \dfrac{7}{5}\cdot 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-7\end{pmatrix},
que coincide com T(\beta_2)=-1\beta_1-1\beta_2=(-1,-7). Bom sinal: resultados consistentes.]

Resposta

[T]_{\text{can}}=\begin{pmatrix}\dfrac{17}{5} & -\dfrac{1}{5} \\[6pt] \dfrac{94}{5} & -\dfrac{7}{5}\end{pmatrix}
T(x,y)=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}17x - y \\[6pt] 94x - 7y\end{pmatrix}.]

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