Sejam (R)_{\alpha}=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ -1 & 3\end{array}\right) e (S)_{\alpha}^{\beta}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\\\ 2 & 1 & 1\end{array}\right), onde \alpha é a base canônica do \mathbb{R}^{2} e \beta é a base canônica do \mathbb{R}^{3}. Determine (R \circ S)_{\alpha}^{\beta}.
onde \alpha é a base canônica de \mathbb{R}^{2} e \beta é a base canônica de \mathbb{R}^{3}.
O que o enunciado pede: determinar (R\circ S)_{\alpha}^{\beta}.
Passo 2
O que essas matrizes representam (explicação didática e curta): (S)_{\alpha}^{\beta} é a matriz do mapa linear S:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} escrita na base \beta do domínio e na base \alpha do contradomínio; (R)_{\alpha} é a matriz do mapa linear R:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} escrita na base \alpha do domínio e do contradomínio. A composição R\circ S é o mapa que primeiro aplica S e depois aplica R, logo R\circ S:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}.
Passo 3
Como obter a matriz da composição (fórmula e justificativa):
Para mapas lineares, a matriz da composição corresponde ao produto das matrizes (na ordem certa): aplicar S e em seguida R corresponde a multiplicar a matriz de R pela matriz de S. Portanto
Regra de cálculo de entradas: se A é m\times n e B é n\times p, então C=AB é m\times p e cada entrada é
C_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,B_{kj}.
Passo 4
Verificação de dimensões e ordem: (R)_{\alpha} é 2\times2 e (S)_{\alpha}^{\beta} é 2\times3. O produto (R)_{\alpha}\,(S)_{\alpha}^{\beta} é bem definido e resulta numa matriz 2\times3, que é a forma correta para (R\circ S)_{\alpha}^{\beta}.