Sejam (R)_{\alpha}=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ -1 & 3\end{array}\right) e (S)_{\alpha}^{\beta}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\\\ 2 & 1 & 1\end{array}\right), onde \alpha é a base canônica do \mathbb{R}^{2} e \beta é a base canônica do \mathbb{R}^{3}. Determine (R \circ S)_{\alpha}^{\beta}.

Passo 1

Dados fornecidos:
(R)_{\alpha} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ -1 & 3\end{pmatrix}
(S)_{\alpha}^{\beta} = \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\\\ 2 & 1 & 1\end{pmatrix}
onde \alpha é a base canônica de \mathbb{R}^{2} e \beta é a base canônica de \mathbb{R}^{3}.
O que o enunciado pede: determinar (R\circ S)_{\alpha}^{\beta}.

Passo 2

O que essas matrizes representam (explicação didática e curta): (S)_{\alpha}^{\beta} é a matriz do mapa linear S:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} escrita na base \beta do domínio e na base \alpha do contradomínio; (R)_{\alpha} é a matriz do mapa linear R:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} escrita na base \alpha do domínio e do contradomínio. A composição R\circ S é o mapa que primeiro aplica S e depois aplica R, logo R\circ S:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Como obter a matriz da composição (fórmula e justificativa):
Para mapas lineares, a matriz da composição corresponde ao produto das matrizes (na ordem certa): aplicar S e em seguida R corresponde a multiplicar a matriz de R pela matriz de S. Portanto
(R\circ S)_{\alpha}^{\beta} = (R)_{\alpha}\,(S)_{\alpha}^{\beta}.
Regra de cálculo de entradas: se A é m\times n e B é n\times p, então C=AB é m\times p e cada entrada é
C_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,B_{kj}.

Passo 4

Verificação de dimensões e ordem: (R)_{\alpha} é 2\times2 e (S)_{\alpha}^{\beta} é 2\times3. O produto (R)_{\alpha}\,(S)_{\alpha}^{\beta} é bem definido e resulta numa matriz 2\times3, que é a forma correta para (R\circ S)_{\alpha}^{\beta}.

Passo 5

Cálculo elemento a elemento. Denotando
(R)_{\alpha}=\begin{pmatrix}r_{11} & r_{12}\\\ r_{21} & r_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 2\\\\ -1 & 3\end{pmatrix}, \quad (S)_{\alpha}^{\beta}=\begin{pmatrix}s_{11} & s_{12} & s_{13}\\\ s_{21} & s_{22} & s_{23}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\\\ 2 & 1 & 1\end{pmatrix},
usar a fórmula (R\circ S)_{ij} = r_{i1}s_{1j} + r_{i2}s_{2j}.
Primeira linha ( i=1):
\begin{aligned} (R\circ S)_{11} &= r_{11}s_{11} + r_{12}s_{21} = 1\cdot 1 + 2\cdot 2 = 1 + 4 = 5,\\\ (R\circ S)_{12} &= r_{11}s_{12} + r_{12}s_{22} = 1\cdot 0 + 2\cdot 1 = 0 + 2 = 2,\\\ (R\circ S)_{13} &= r_{11}s_{13} + r_{12}s_{23} = 1\cdot(-1) + 2\cdot 1 = -1 + 2 = 1. \end{aligned}

Passo 6

Segunda linha ( i=2):
\begin{aligned} (R\circ S)_{21} &= r_{21}s_{11} + r_{22}s_{21} = (-1)\cdot 1 + 3\cdot 2 = -1 + 6 = 5,\\\ (R\circ S)_{22} &= r_{21}s_{12} + r_{22}s_{22} = (-1)\cdot 0 + 3\cdot 1 = 0 + 3 = 3,\\\ (R\circ S)_{23} &= r_{21}s_{13} + r_{22}s_{23} = (-1)\cdot(-1) + 3\cdot 1 = 1 + 3 = 4. \end{aligned}

Passo 7

Escrevendo a matriz resultado com todas as entradas calculadas:
(R\circ S)_{\alpha}^{\beta} = \begin{pmatrix}5 & 2 & 1 \\[4pt] 5 & 3 & 4\end{pmatrix}.]

Resposta

(R\circ S)_{\alpha}^{\beta} = \begin{pmatrix}5 & 2 & 1 \\\\ 5 & 3 & 4\end{pmatrix}

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