Verifique se os seguintes operadores lineares sāo diagonalizáveis, caso seja, determine sua matriz diagonal.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(2 x+4 y, 3 x+y).

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
T(x,y)=(2x+4y,\;3x+y).
As perguntas são: verificar se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, determinar a matriz diagonal correspondente. Informações relevantes que já temos diretamente do enunciado:
T(1,0)=(2,3),\qquad T(0,1)=(4,1).
Daí podemos formar a matriz de T na base canônica (e_1,e_2) de \mathbb{R}^2; isso será usado na resolução.

Passo 2

Construo a matriz da transformação na base canônica. A matriz A tem como colunas as imagens de e_1=(1,0) e e_2=(0,1):
A=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix},
pois T(1,0)=(2,3) e T(0,1)=(4,1).
Agora um pequeno lembrete didático (passo-a-passo da teoria que usaremos):
  • Um escalar \lambda é autovalor (ou valor próprio) de A se existe vetor não nulo v tal que Av=\lambda v. Esse v é um autovetor.
  • Para encontrar autovalores calculamos os valores de \lambda que anulam o polinômio característico \det(A-\lambda I).
  • A multiplicidade algébrica de um autovalor é sua multiplicidade como raiz do polinômio característico.
  • A multiplicidade geométrica é a dimensão do espaço próprio \ker(A-\lambda I), ou seja, o número de autovetores linearmente independentes associados ao autovalor.
  • Uma matriz 2\times2 com autovalores distintos (raízes diferentes do polinômio característico) é automaticamente diagonalizável, porque autovalores distintos dão autovetores linearmente independentes.]

Passo 3

Calculo o polinômio característico \det(A-\lambda I). Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & 4 \\[4pt] 3 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(1-\lambda)-4\cdot 3.
Faço a multiplicação e simplifico passo a passo:
(2-\lambda)(1-\lambda)=2-2\lambda-\lambda+\lambda^2=\lambda^2-3\lambda+2.
Subtraindo 12 (pois 4\cdot3=12) temos
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-3\lambda+2-12=\lambda^2-3\lambda-10.]

Passo 4

Encontro as raízes do polinômio \lambda^2-3\lambda-10=0. Calculo o discriminante:
\Delta = (-3)^2-4\cdot1\cdot(-10)=9+40=49.
Como \sqrt{\Delta}=7, as raízes são
\lambda=\frac{3\pm7}{2}.
Logo os autovalores são
\lambda_1=\frac{3+7}{2}=5,\qquad \lambda_2=\frac{3-7}{2}=-2.
Observação importante: temos dois autovalores distintos ( 5 e -2). Pela propriedade citada antes, isso já garante que A é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Mas vou continuar e calcular autovetores para construir explicitamente a matriz de mudança de base e a diagonal.

Passo 5

Calculo autovetores para \lambda_1=5. Resolvemos (A-5I)v=0. Escrevo a matriz:
A-5I=\begin{pmatrix}2-5 & 4 \\[4pt] 3 & 1-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 4 \\[4pt] 3 & -4\end{pmatrix}.
Resolvendo o sistema homogêneo associado:
-3x+4y=0,\qquad 3x-4y=0.
As duas equações são equivalentes; a primeira dá 4y=3x então y=\dfrac{3}{4}x. Posso escolher um parâmetro simples, por exemplo x=4, daí y=3. Assim um autovetor associado a \lambda_1=5 é
v_1=\begin{pmatrix}4\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calculo autovetores para \lambda_2=-2. Resolvemos (A+2I)v=0 (pois \lambda=-2):
A+2I=\begin{pmatrix}2+2 & 4 \\[4pt] 3 & 1+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 4 \\[4pt] 3 & 3\end{pmatrix}.
O sistema homogêneo é
4x+4y=0,\qquad 3x+3y=0.
Ambas equações são equivalentes e dão x=-y. Posso escolher x=1, então y=-1. Um autovetor associado a \lambda_2=-2 é
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verifico independência linear dos autovetores v_1 e v_2. Monte a matriz P cujas colunas são os autovetores:
P=\begin{pmatrix}4 & 1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
O determinante de P é
\det(P)=4\cdot(-1)-1\cdot3=-4-3=-7\neq0,
logo P é invertível e as colunas (os autovetores) são linearmente independentes. Isso confirma que temos uma base formada por autovetores, portanto A (e T) é diagonalizável.]

Passo 8

A forma diagonal (na base formada pelos autovetores) é a matriz com os autovalores na diagonal, na mesma ordem em que coloquei as colunas em P. Como coloquei v_1 (autovalor 5) como primeira coluna e v_2 (autovalor -2) como segunda coluna, a matriz diagonal é
D=\begin{pmatrix}5 & 0 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix},
e satisfaz a relação de similaridade
P^{-1}AP=D.
Se eu tivesse escolhido ordem diferente de autovetores em P, os autovalores em D apareceriam nessa ordem correspondente.]

Resposta

\begin{pmatrix}5 & 0 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}]

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