Verifique se os seguintes operadores lineares sāo diagonalizáveis, caso seja, determine sua matriz diagonal.
.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
definido por
As perguntas são: verificar se
é diagonalizável e, em caso afirmativo, determinar a matriz diagonal correspondente. Informações relevantes que já temos diretamente do enunciado:
Daí podemos formar a matriz de
na base canônica
de
; isso será usado na resolução.
Passo 2
Construo a matriz da transformação na base canônica. A matriz
tem como colunas as imagens de
e
:
pois
e
.
Agora um pequeno lembrete didático (passo-a-passo da teoria que usaremos):
- Um escalar
é autovalor (ou valor próprio) de se existe vetor não nulo tal que . Esse é um autovetor. - Para encontrar autovalores calculamos os valores de
que anulam o polinômio característico . - A multiplicidade algébrica de um autovalor é sua multiplicidade como raiz do polinômio característico.
- A multiplicidade geométrica é a dimensão do espaço próprio
, ou seja, o número de autovetores linearmente independentes associados ao autovalor. - Uma matriz
com autovalores distintos (raízes diferentes do polinômio característico) é automaticamente diagonalizável, porque autovalores distintos dão autovetores linearmente independentes.]
Passo 3
Calculo o polinômio característico
. Primeiro escrevo
:
O determinante é
Faço a multiplicação e simplifico passo a passo:
Subtraindo
(pois
) temos
Passo 4
Encontro as raízes do polinômio
. Calculo o discriminante:
Como
, as raízes são
Logo os autovalores são
Observação importante: temos dois autovalores distintos (
e
). Pela propriedade citada antes, isso já garante que
é diagonalizável sobre
. Mas vou continuar e calcular autovetores para construir explicitamente a matriz de mudança de base e a diagonal.
Passo 5
Calculo autovetores para
. Resolvemos
. Escrevo a matriz:
Resolvendo o sistema homogêneo associado:
As duas equações são equivalentes; a primeira dá
então
. Posso escolher um parâmetro simples, por exemplo
, daí
. Assim um autovetor associado a
é
Passo 6
Calculo autovetores para
. Resolvemos
(pois
):
O sistema homogêneo é
Ambas equações são equivalentes e dão
. Posso escolher
, então
. Um autovetor associado a
é
Passo 7
Verifico independência linear dos autovetores
e
. Monte a matriz
cujas colunas são os autovetores:
O determinante de
é
logo
é invertível e as colunas (os autovetores) são linearmente independentes. Isso confirma que temos uma base formada por autovetores, portanto
(e
) é diagonalizável.]
Passo 8
A forma diagonal (na base formada pelos autovetores) é a matriz com os autovalores na diagonal, na mesma ordem em que coloquei as colunas em
. Como coloquei
(autovalor
) como primeira coluna e
(autovalor
) como segunda coluna, a matriz diagonal é
e satisfaz a relação de similaridade
Se eu tivesse escolhido ordem diferente de autovetores em
, os autovalores em
apareceriam nessa ordem correspondente.]