Verifique se os seguintes operadores lineares sāo diagonalizáveis, caso seja, determine sua matriz diagonal. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x+2 y+z,-x+3 y+z, 2 y+2 z).
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é diagonalizável e, se for, que determinemos a sua matriz diagonal. \n
As informações dadas pelo enunciado são: para todo (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, T(x,y,z) = (x+2y+z,\; -x+3y+z,\; 2y+2z).
Passo 2
Primeiro vamos escrever a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\} de \mathbb{R}^3. \n
Calculamos as imagens dos vetores da base:
T(e_1)=T(1,0,0)=(1,-1,0),
T(e_2)=T(0,1,0)=(2,3,2),
T(e_3)=T(0,0,1)=(1,1,2).
A matriz A de T na base canônica tem essas imagens como colunas, logo
Para decidir se T é diagonalizável, vamos buscar autovalores (eigenvalues) \lambda e autovetores (eigenvectors) v\neq 0 tais que
A v = \lambda v,
ou seja,
(A-\lambda I)v=0.
Lembrando a teoria (explicação didática): um operador linear é diagonalizável se existe uma base formada por autovetores. Uma forma prática é: se encontramos 3 autovetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3, então A é diagonalizável. Além disso, autovalores distintos garantem autovetores linearmente independentes (uma propriedade útil que vamos usar).
Passo 4
Vamos calcular o polinômio característico p(\lambda)=\det(A-\lambda I). Escrevemos
Da primeira equação z=-2y. Substituindo na segunda: -x+2y-2y=0 dá x=0. Assim os vetores da forma (0,y,-2y) são autovetores. Escolhendo y=1 obtemos um autovetor conveniente
Por uma propriedade fundamental: autovetores correspondentes a autovalores distintos são linearmente independentes. Assim v_1,v_2,v_3 formam uma base de \mathbb{R}^3. Portanto A (e T) é diagonalizável. \n
Se colocarmos a matriz de mudança de base P cujas colunas são v_1,v_2,v_3, isto é