Pede-se: encontrar os autovalores de A e os autoespaços (espaços próprios) de L_{A}, ou seja, para cada autovalor \lambda determinar o conjunto de vetores não-nulos v tais que A v = \lambda v.
O que é autovalor e autoespaço e o método que vamos usar (explicadinho).
Definição: um escalar \lambda é autovalor de A se existe vetor não-nulo v tal que
A v = \lambda v.
Esse v é um autovetor associado a \lambda. O conjunto de todos os autovetores associados a \lambda (junto com o vetor zero) forma o autoespaço E_{\lambda}=\ker(A-\lambda I).
Método prático: para achar os autovalores calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I) e resolvemos \det(A-\lambda I)=0. Para cada raiz \lambda desse polinômio, determinamos o autoespaço resolvendo (A-\lambda I)v=0 (sistema linear homogêneo). Vou montar A-\lambda I, calcular a determinante passo a passo, achar as raízes e depois resolver os núcleos.
Passo 3
Formar A-\lambda I e calcular \det(A-\lambda I) cuidadosamente.
Encontrar o autoespaço associado a \lambda=0\): resolver \(A v = 0\).
Escrevendo o sistema linear \(A v = 0\) com \(v=(x,y,z)^{T}\):
\[\begin{cases} -5x + y +5z = 0,\\[4pt] - x +2y + z = 0,\\[4pt] -3x +0\cdot y +3z = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem -3x+3z=0\Rightarrow z=x\]. Substituindo em primeira: \(-5x + y +5x = y = 0. A segunda equação fica -x+2\cdot 0 + x = 0 que é satisfeita identicamente. Logo os vetores solução têm a forma
v = \begin{pmatrix}x\\[4pt]0\\[4pt]x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad x\in\mathbb{R}.
Encontrar o autoespaço para \lambda=\sqrt{3}\).
Denote \(\alpha=\sqrt{3}\). Temos de resolver \((A-\alpha I)v=0\), ou seja o sistema
\[\begin{cases} (-5-\alpha)x + y + 5z = 0,\\[4pt] - x + (2-\alpha)y + z = 0,\\[4pt] -3x + (3-\alpha)z = 0. \end{cases}
Da terceira equação isolamos x\] em função de \(z:
Tomando z=t\] e substituindo na primeira equação para achar \(y, segue-se cálculo análogo ao caso anterior. O resultado simplificado (multiplicando por 3 para evitar frações) é que os vetores do autoespaço têm a forma