Encontre os autovalores das matrizes abaixo para \mathbb{K}=\mathbb{C} ou \mathbb{K}=\mathbb{R}.
A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -1 & 10 \\\\ -1 & -1 & 6 \\\\ -1 & -1 & 6\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede os autovalores da matriz
A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 10\\\\ -1 & -1 & 6\\\\ -1 & -1 & 6 \end{pmatrix}
no corpo \mathbb{K} = \mathbb{C} ou \mathbb{K} = \mathbb{R}. Vamos usar o polinômio característico \chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I).

Passo 2

Formamos A - \lambda I:
A - \lambda I = \begin{pmatrix} -1-\lambda & -1 & 10\\\\ -1 & -1-\lambda& 6\\\\ -1 & -1 & 6-\lambda \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante por expansão na primeira linha.

Passo 3

Ao expandir, obtemos
\det(A - \lambda I) = (-1-\lambda)\bigl[( -1-\lambda)(6-\lambda)-6(-1)\bigr] -(-1)\bigl[(-1)(6-\lambda)-6(-1)\bigr] +10\bigl[(-1)(-1)-( -1-\lambda)(-1)\bigr].
Fazendo as operações internas chega-se a
\det(A - \lambda I) = -\lambda\bigl(\lambda^2 - 4\lambda + 4\bigr) = -\lambda(\lambda - 2)^2.

Passo 4

As raízes do polinômio característico são as soluções de -\lambda(\lambda - 2)^2=0, ou seja,
\lambda = 0 \quad\text{e}\quad \lambda = 2\quad(\text{multiplicidade algébrica }2).é

Resposta

Os autovalores de A são
0 (multiplicidade algébrica 1) e
2 (multiplicidade algébrica 2).

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