Seja T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} um operador linear definido por T(x, y)=(x+y, x+y).
a) Determine os autovalores de T.
b) Determine os autovetores de T.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
T(x,y)=(x+y,\;x+y).
Queremos encontrar os valores escalar \lambda (autovalores) e vetores não nulos v\in\mathbb{R}^2 (autovetores) tais que
T(v)=\lambda\,v.
O conteúdo usado será representação matricial de T, determinante para achar o polinômio característico e resolução de sistemas lineares para cada \lambda.

Passo 2

Escolhemos a base canônica \{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\}. A matriz de T nessa base é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix},
pois T(1,0)=(1,1) e T(0,1)=(1,1).

Passo 3

Para achar os autovalores, montamos o determinante \det(A-\lambda I)=0:
\det\!\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1\\\\ 1 & 1-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)^2 - 1 =0.
Isso dá
(1-\lambda)^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad 1-\lambda = \pm 1.
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 1-1 = 0 \quad\text{e}\quad \lambda_2 = 1+1 = 2.

Passo 4

Agora achamos, para cada \lambda, o espaço nulo de (A-\lambda I).
Para \lambda=2:
A - 2I = \begin{pmatrix} 1-2 & 1\\\\ 1 & 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.
Resolvendo
\begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; -y + x = 0,
segue que x=y. Portanto os autovetores associados a \lambda=2 são todos múltiplos de (1,1).

Passo 5

Para \lambda=0:
A - 0\cdot I = A,\quad \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; x + y = 0,
ou seja, y=-x. Assim os autovetores associados a \lambda=0 são todos múltiplos de (1,-1).

Resposta

(a) Os autovalores são \lambda=2 e \lambda=0.
(b) Para \lambda=2, os autovetores são todos os múltiplos de (1,1).
Para \lambda=0, os autovetores são todos os múltiplos de (1,-1).

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