Seja T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} um operador linear definido por T(x, y)=(x+y, x+y).
a) Determine os autovalores de T.
b) Determine os autovetores de T.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
T(x,y)=(x+y,\;x+y).
Queremos encontrar os valores escalar \lambda (autovalores) e vetores não nulos v\in\mathbb{R}^2 (autovetores) tais que
T(v)=\lambda\,v.
O conteúdo usado será representação matricial de T, determinante para achar o polinômio característico e resolução de sistemas lineares para cada \lambda.
Passo 2
Escolhemos a base canônica \{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\}. A matriz de T nessa base é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix},
pois T(1,0)=(1,1) e T(0,1)=(1,1).
Passo 3
Para achar os autovalores, montamos o determinante \det(A-\lambda I)=0:
segue que x=y. Portanto os autovetores associados a \lambda=2 são todos múltiplos de (1,1).
Passo 5
Para \lambda=0:
A - 0\cdot I = A,\quad \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; x + y = 0,
ou seja, y=-x. Assim os autovetores associados a \lambda=0 são todos múltiplos de (1,-1).
Resposta
(a) Os autovalores são \lambda=2 e \lambda=0.
(b) Para \lambda=2, os autovetores são todos os múltiplos de (1,1).
Para \lambda=0, os autovetores são todos os múltiplos de (1,-1).