Determine se A é diagonalizável (sobre \mathbb{R} ) e, quando for, encontre uma matriz invertível P=\left(p_{i j}\right)_{3 \times 3} e uma matriz diagonal D=\left(d_{i j}\right)_{3 \times 3} tais que P^{-1} A P=D.
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
é diagonalizável sobre \mathbb{R} e, caso positivo, encontrar P invertível e D diagonal com P^{-1}AP=D. O conteúdo envolvido é o cálculo de valores próprios (autovalores), cálculo dos autovetores e verificação das dimensões dos espaços próprios para checar a condição de diagonalização (soma das dimensões dos espaços próprios igual a 3).

Passo 2

Vamos obter o polinômio característico
p(\lambda)=\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 1\\\\ -1 & -\lambda & 1\\\\ 1 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha,
p(\lambda) =(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\\ 1 & -\lambda\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & -\lambda\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}-1 & -\lambda\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Calculamos as menores:
\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\\ 1 & -\lambda\end{pmatrix} =\lambda^2-1, \quad \det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & -\lambda\end{pmatrix} =\lambda-1, \quad \det\begin{pmatrix}-1 & -\lambda\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =\lambda-1.
Logo,
p(\lambda) =(1-\lambda)(\lambda^2-1)-2(\lambda-1)+(\lambda-1).
Fazendo a expansão completa, chega-se a
p(\lambda)=\lambda^2(\lambda-1).

Passo 3

Das raízes de p(\lambda)=0 obtemos os autovalores:
\lambda=0\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda=1\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 4

Agora calculamos as dimensões dos espaços próprios.
Para \lambda=1, resolvemos (A-I)x=0:
\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1\\\\ -1 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; x=-3y,\;z=-2y.
O espaço próprio de \lambda=1 é \{t(-3,1,-2)\mid t\in\mathbb{R}\}, dimensão 1.
Para \lambda=0, resolvemos Ax=0:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; y=-x,\;z=x.
O espaço próprio de \lambda=0 é \{t(1,-1,1)\mid t\in\mathbb{R}\}, dimensão 1.

Passo 5

Para ser diagonalizável, a soma das dimensões dos espaços próprios deve ser 3. Aqui obtemos 1 (para \lambda=1) mais 1 (para \lambda=0), total 2<3. Portanto não é possível diagonalizar A sobre \mathbb{R}.

Resposta

A matriz A não é diagonalizável sobre \mathbb{R}.

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