Encontre os autovalores das matrizes abaixo para \mathbb{K}=\mathbb{C} ou \mathbb{K}=\mathbb{R}.
A=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede os autovalores da matriz
A = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\[6pt] -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}
vamos usar o polinômio característico \det(A - \lambda I) para encontrá-los.]

Passo 2

Formamos o determinante de A-\lambda I:
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}-\lambda & \frac{1}{2} \\[4pt] -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}-\lambda \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos esse determinante:
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) =\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}-\lambda\Bigr)^2 - \Bigl(-\tfrac12\Bigr)\Bigl(\tfrac12\Bigr) =\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}-\lambda\Bigr)^2 + \frac{1}{4}.
Expandindo:
\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}-\lambda\Bigr)^2 + \tfrac14 =\lambda^2 - \sqrt{3}\,\lambda + 1.
Logo a equação característica é
\lambda^2 - \sqrt{3}\,\lambda + 1 = 0.

Passo 4

Resolvendo \lambda^2 - \sqrt{3}\,\lambda + 1 = 0 pela fórmula de Bhaskara:
\lambda = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{(\sqrt3)^2 - 4\cdot1\cdot1}}{2} = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4}}{2} = \frac{\sqrt{3} \pm i}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \pm i\,\frac{1}{2}.

Passo 5

Em \mathbb{C} esses dois valores são válidos e são os autovalores. Em \mathbb{R} não há nenhuma raiz real dessa equação, logo não existem autovalores reais.

Resposta

para \mathbb{K}=\mathbb{C}: autovalores
\lambda_{1,2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \pm i\,\frac{1}{2}.
para \mathbb{K}=\mathbb{R}: não há autovalores reais.

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