Encontre os autovalores e seus respectivos autovetores associados para as matrizes abaixo:
(b) (cc1 & 1 -1 & 2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = 1 & 1 -1 & 2
O conteúdo é cálculo de autovalores e autovetores, e vamos precisar formar o polinômio característico det(A - lambda I) e resolver det(A - lambda I)=0, depois encontrar vetores não nulos no núcleo de A - lambda I.

Passo 2

Calculamos o determinante
det1 - lambda & 1 -1 & 2 - lambda = (1 - lambda)(2 - lambda) - (1)(-1)

Passo 3

Expandindo e simplificando o determinante, obtemos
(1 - lambda)(2 - lambda) + 1 = lambda^2 - 3lambda + 3
O polinômio característico é lambda^2 - 3lambda + 3 = 0.

Passo 4

Resolvendo a equação lambda^2 - 3lambda + 3 = 0 pela fórmula de Bhaskara, temos
lambda = 3 pm raiz9 - 122 = 3 pm iraiz32
Logo os autovalores são lambda1 = tfrac3 + iraiz32 e lambda2 = tfrac3 - iraiz32.

Passo 5

Para lambda1 = tfrac3 + iraiz32, resolvemos (A - lambda1 I)v = 0. A primeira linha dá
(1 - lambda1)x + y = 0 implies y = (lambda1 - 1)x
Escolhendo x = 1, obtemos o autovetor
v1 = 1 lambda1 - 1 = 1 tfrac1 + iraiz32

Passo 6

Analogamente, para lambda2 = tfrac3 - iraiz32 temos
y = (lambda2 - 1)x,
logo escolhendo x = 1 o autovetor é
v2 = 1 lambda2 - 1 = 1 tfrac1 - iraiz32

Resposta

Os autovalores são lambda1 = tfrac3 + iraiz32 e lambda2 = tfrac3 - iraiz32. Autovetores correspondentes podem ser escolhidos, por exemplo, v1 = 1 tfrac1 + iraiz32 para lambda1 e v2 = 1 tfrac1 - iraiz32 para lambda2.

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