Encontre os autovalores e seus respectivos autovetores associados para as matrizes abaixo:
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Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
. Vamos usar conceitos de polinômio característico e resolver
para achar tudo.
Passo 2
Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico de
:
Igualando a zero, temos
, ou seja, o único autovalor é
(com multiplicidade algébrica 2).
Passo 3
Agora vamos achar os autovetores associados a
resolvendo
. Calculamos:
Chamando o vetor genérico de
, temos a equação:
o que impõe
e não dá condição sobre
.
Passo 4
Como
é livre e
, os autovetores são todos os múltiplos de
. Logo, o espaço próprio associado a
é de dimensão 1, gerado por
.
Resposta
O único autovalor é 3, e seu espaço de autovetores é dado por todos os vetores da forma
com
, ou seja, gerado por
.