Encontre os autovalores e seus respectivos autovetores associados para as matrizes abaixo:
© (ll3 & 1 0 & 3)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz A=3 & 10 & 3. Vamos usar conceitos de polinômio característico e resolver (A-lambda I)v=0 para achar tudo.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=det3-lambda & 10 & 3-lambda=(3-lambda)^2
Igualando a zero, temos (3-lambda)^2=0, ou seja, o único autovalor é lambda=3 (com multiplicidade algébrica 2).

Passo 3

Agora vamos achar os autovetores associados a lambda=3 resolvendo (A-3I)v=0. Calculamos:
A-3I=3 & 10 & 3-3 & 00 & 3=0 & 10 & 0
Chamando o vetor genérico de v=(x,y)^T, temos a equação:
0 & 10 & 0xy=y0=00,
o que impõe y=0 e não dá condição sobre x.

Passo 4

Como x é livre e y=0, os autovetores são todos os múltiplos de (1,0)^T. Logo, o espaço próprio associado a lambda=3 é de dimensão 1, gerado por (1,0)^T.

Resposta

O único autovalor é 3, e seu espaço de autovetores é dado por todos os vetores da forma (x,0)^T com xneq0, ou seja, gerado por (1,0)^T.

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