Encontre os autovalores e seus respectivos autovetores associados para as matrizes abaixo:
(a) (ll3 & -2 2 & -2)

Passo 1

Estamos com a matriz
A = 3 & -22 & -2
Queremos encontrar os autovalores e autovetores dela. O conteúdo envolve montar o polinômio característico usando determinante e depois resolver o sistema (A - lambda I)x = 0 para cada autovalor.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico det(A - lambda I)=0. Temos:
A - lambda I = 3-lambda & -22 & -2-lambda
E o determinante é
det(A - lambda I) = (3-lambda)(-2-lambda) - (-2)cdot2 = (3-lambda)(-2-lambda) +4
Expandindo e simplificando,
(3-lambda)(-2-lambda) +4 = -6 -3lambda +2lambda + lambda^2 +4 = lambda^2 -lambda -2
Logo, o polinômio característico é lambda^2 - lambda -2 =0.

Passo 3

Resolvendo a equação lambda^2 - lambda -2 =0 pelas fórmulas de Bhaskara, obtemos as raízes
lambda = 1 pm raiz1 +82 = 1 pm32,
isto é,
lambda1 = 2, lambda2 = -1

Passo 4

Agora vamos achar o autovetor para lambda1 = 2. Montamos
A - 2I = 3-2 & -22 & -2-2 = 1 & -22 & -4
O sistema (A - 2I)x = 0 gera a equação x_1 - 2x_2 = 0
Logo x1 = 2x2. Assim, os autovetores associados a lambda1 =2 são todos os múltiplos de
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Passo 5

Agora o autovetor para lambda2 = -1. Montamos
A + I = 3+1 & -22 & -2+1 = 4 & -22 & -1
O sistema (A + I)x = 0 dá a equação 4x_1 - 2x_2 = 0
Logo x1 = tfracx22. Escolhendo x2 = 2, um vetor próprio é
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Resposta

Os autovalores são
λ₁ = 2, com autovetores proporcionais a (2, 1);
λ₂ = −1, com autovetores proporcionais a (1, 2).

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