Encontre os autovalores e seus respectivos autovetores associados para as matrizes abaixo:
(a)
(a)
Passo 1
Estamos com a matriz
Queremos encontrar os autovalores e autovetores dela. O conteúdo envolve montar o polinômio característico usando determinante e depois resolver o sistema
para cada autovalor.
Passo 2
Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
. Temos:
E o determinante é
Expandindo e simplificando,
Logo, o polinômio característico é
.
Passo 3
Resolvendo a equação
pelas fórmulas de Bhaskara, obtemos as raízes
isto é,
Passo 4
Agora vamos achar o autovetor para
. Montamos
O sistema
gera a equação x_1 - 2x_2 = 0
Logo . Assim, os autovetores associados a
são todos os múltiplos de
Logo
Passo 5
Agora o autovetor para
. Montamos
O sistema
dá a equação 4x_1 - 2x_2 = 0
Logo . Escolhendo
, um vetor próprio é
Logo
Resposta
Os autovalores são
λ₁ = 2, com autovetores proporcionais a (2, 1);
λ₂ = −1, com autovetores proporcionais a (1, 2).
λ₁ = 2, com autovetores proporcionais a (2, 1);
λ₂ = −1, com autovetores proporcionais a (1, 2).