Sejam a, b e c inteiros com a neq 0. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contra-exemplo:
mdc(a, a)=|a|

Passo 1

O enunciado pede para verificar se para inteiros com aneq0 vale gcd(a,a)=|a|. O conteúdo é teoria dos números, mais especificamente propriedades do máximo divisor comum (mdc). Vamos usar a definição de mdc e propriedades de divisibilidade.

Passo 2

Pela definição, gcd(a,a) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente a e a. Todos os divisores comuns de a e a são simplesmente os divisores de a.

Passo 3

Como a divide a, percebemos que |a| é um divisor comum. Se d é qualquer outro divisor comum de a e a, então dmid a implica |d|<=|a|. Logo, entre todos os divisores comuns, |a| é o maior.

Passo 4

Portanto, pela definição de máximo divisor comum, temos gcd(a,a)=|a|.

Resposta

Verdadeira

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