Sejam
e
inteiros com
. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contra-exemplo:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se para inteiros com
vale
. O conteúdo é teoria dos números, mais especificamente propriedades do máximo divisor comum (mdc). Vamos usar a definição de mdc e propriedades de divisibilidade.
Passo 2
Pela definição,
é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente
e
. Todos os divisores comuns de
e
são simplesmente os divisores de
.
Passo 3
Como
divide
, percebemos que
é um divisor comum. Se
é qualquer outro divisor comum de
e
, então
implica
. Logo, entre todos os divisores comuns,
é o maior.
Passo 4
Portanto, pela definição de máximo divisor comum, temos
.
Resposta
Verdadeira