Sejam a, b e c inteiros com a neq 0. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contra-exemplo:
mdc(a, b c)=mdc(a, b) cdot mdc(a, c)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vale sempre que mdc(a,bc)=mdc(a,b)cdotmdc(a,c). O conteúdo é teoria de máximo divisor comum (mdc) e precisamos usar propriedades de fatores primos ou apresentar um contra-exemplo.

Passo 2

Para encontrar um contra-exemplo, basta escolher valores de a,b,c em que mdc(a,b) e mdc(a,c) não sejam coprimos, fazendo o produto ficar maior que mdc(a,bc).
Tomemos a=4, b=2 e c=4.

Passo 3

Calculamos cada mdc:
mdc(4,;b c)=mdc(4,;2cdot4)=mdc(4,8)=4,
mdc(4,2)=2,mdc(4,4)=4Longrightarrow2cdot4=8

Passo 4

Como 4neq8, a igualdade não vale para esses valores.
Em geral a fórmula só seria verdadeira se mdc(a,b) e mdc(a,c) fossem coprimos, o que não ocorre no nosso contra-exemplo.

Resposta

A igualdade é falsa. Um contra-exemplo é a=4,b=2,c=4, pois mdc(4,8)=4 mas mdc(4,2)cdotmdc(4,4)=2cdot4=8.

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