Sejam
e
inteiros com
. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contra-exemplo:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se vale sempre que
. O conteúdo é teoria de máximo divisor comum (mdc) e precisamos usar propriedades de fatores primos ou apresentar um contra-exemplo.
Passo 2
Para encontrar um contra-exemplo, basta escolher valores de
em que
e
não sejam coprimos, fazendo o produto ficar maior que
.
Tomemos ,
e
.
Tomemos
Passo 3
Calculamos cada mdc:
Passo 4
Como
, a igualdade não vale para esses valores.
Em geral a fórmula só seria verdadeira se e
fossem coprimos, o que não ocorre no nosso contra-exemplo.
Em geral a fórmula só seria verdadeira se
Resposta
A igualdade é falsa. Um contra-exemplo é
, pois
mas
.