Encontre a e b de modo que a parábola com equação y=a x^2+b x tenha reta tangente em (2,7) com equação y=5 x-3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os coeficientes de uma parábola do tipo y=a x^2+b x que passa pelo ponto (2,7) e cuja reta tangente nesse ponto é y=5x-3. Vamos usar derivada para obter o coeficiente angular e condição de passagem pelo ponto.

Passo 2

Como a parábola deve passar em (2,7), substituímos na equação y=a x^2+b x:
4a + 2b = 7

Passo 3

A derivada da parábola é y'=2ax+b. No ponto x=2 ela deve ter inclinação igual a 5 (coeficiente angular da reta tangente):
4a + b = 5

Passo 4

Resolvendo o sistema
4a + 2b = 7 4a + b = 5
subtraímos a segunda equação da primeira para obter b=2. Substituindo em 4a + b = 5 vem 4a = 3, logo a=tfrac34.

Resposta

a=tfrac34,; b=2

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