Encontre uma equação para a reta tangente à curva y=x raiz[3]x que seja paralela à reta 3 y+4 x=2.

Passo 1

A gente quer achar a reta tangente à curva y = x√[3]{x} (que é y = x^{4/3}) que seja paralela à reta 3y + 4x = 2. O conteúdo envolvido é derivação de funções potenciais para encontrar o coeficiente angular da tangente e igualar ao coeficiente da reta dada.

Passo 2

Para encontrar o coeficiente angular (slope) da reta 3y + 4x = 2, vamos escrever em forma explícita y = mx + b:
3y = -4x + 2 implies y = -tfrac43x + tfrac23
Logo, o coeficiente angular da reta dada é m = -\tfrac{4}{3}.

Passo 3

A derivada de y = x^{4/3} pela regra da potência é
y' = ddxl(x^4/3r) = 43x^1/3

Passo 4

Para que a reta tangente seja paralela, precisamos que y’ = -\tfrac{4}{3}. Assim,
43x^1/3 = -43 implies x^1/3 = -1 implies x = -1

Passo 5

Calculando y em x = -1:
y = (-1)^4/3 = l((-1)^1/3r)^4 = (-1)^4 = 1
Temos então o ponto de tangência P(-1,1) e coeficiente m = -\tfrac{4}{3}. A equação da reta tangente, usando ponto-ângulo, é
y - 1 = -43l(x + 1r)

Resposta

y - 1 = -43(x + 1)

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