Use a regra da cadeia para calcular a derivada da função
f(x)=tg raizcos (sec (e^x))

Passo 1

Aqui a missão é usar a regra da cadeia para derivar a função
f(x)=tanl(raizcosl(sec(e^x)r)r)
O conteúdo envolve derivadas das funções tan, raiz quadrada, cos, sec e exponencial.

Passo 2

Vamos chamar
u(x)=raizcosl(sec(e^x)r)
e escrever
f(x)=tanl(u(x)r)
Como a derivada de tan(u) é sec^2(u),u', temos
f'(x)=sec^2l(u(x)r)cdot u'(x)

Passo 3

Agora vamos derivar u(x)=raizv(x) com v(x)=cosl(sec(e^x)r). A derivada de raizv é
ddxraizv=v'2raizv
Logo,
u'(x)=v'(x)2raizv(x)

Passo 4

Precisamos de v'(x) com v(x)=cos(w(x)) e w(x)=sec(e^x). A derivada de cos(w) é -sin(w),w', então
v'(x)=-sinl(w(x)r)cdot w'(x)

Passo 5

Falta agora w'(x) para w(x)=sec(e^x). Sabendo que
ddxsec(z)=sec(z)tan(z),z'
e z(x)=e^x tem z'(x)=e^x, obtemos
w'(x)=sec(e^x)tan(e^x)cdot e^x

Passo 6

Bastar juntar tudo: substituindo w' em v', depois em u' e finalmente em f', chega-se a
f'(x)=sec^2l(raizcos(sec(e^x))r)cdot-sin(sec(e^x)),sec(e^x)tan(e^x),e^x2raizcos(sec(e^x))

Resposta

f'(x)=-e^x,sec^2l(raizcos(sec(e^x))r),sinl(sec(e^x)r),sec(e^x),tan(e^x)2raizcos(sec(e^x))

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