Encontre uma base e diga qual a dimensão do subespaço vectorial de gerado por
Passo 1
Vamos recapitular: temos três vetores em ,\n\nE a tarefa é achar uma base do subespaço que eles geram e sua dimensão. Vamos usar conceitos de independência linear, base e dimensão e executar eliminação de Gauss.
Passo 2
Montamos a matriz cujas linhas são os vetores dados:
Agora aplicamos eliminação de Gauss para descobrir o posto.
Primeiro, subtraímos a linha 1 da linha 3:
Depois, eliminamos o 2 da posição (3,2) subtraindo 2 vezes a linha 2 da linha 3:
Isso mostra que só há 2 pivôs, ou seja, o posto é 2.
Passo 3
Os pivôs aparecem nas linhas 1 e 2, o que significa que os vetores originais correspondentes à linha 1 e à linha 2 são linearmente independentes. Logo, podemos tomar
como base do subespaço. Note que o terceiro vetor é combinação linear desses: .
A dimensão do subespaço é o número de vetores na base, que é 2.
Resposta
Uma base é {(1,2,3,-2),;(0,1,-3,1)} e a dimensão do subespaço gerado é 2.