Encontre uma base e diga qual a dimensão do subespaço vectorial de R^4 gerado por
(1,2,3,-2),(0,1,-3,1),(1,4,-3,0)

Passo 1

Vamos recapitular: temos três vetores em R^4,\n (1,2,3,-2),;(0,1,-3,1),;(1,4,-3,0)\nE a tarefa é achar uma base do subespaço que eles geram e sua dimensão. Vamos usar conceitos de independência linear, base e dimensão e executar eliminação de Gauss.

Passo 2

Montamos a matriz cujas linhas são os vetores dados:
Agora aplicamos eliminação de Gauss para descobrir o posto.
Primeiro, subtraímos a linha 1 da linha 3:
Depois, eliminamos o 2 da posição (3,2) subtraindo 2 vezes a linha 2 da linha 3:
Isso mostra que só há 2 pivôs, ou seja, o posto é 2.

Passo 3

Os pivôs aparecem nas linhas 1 e 2, o que significa que os vetores originais correspondentes à linha 1 e à linha 2 são linearmente independentes. Logo, podemos tomar
(1,2,3,-2)e(0,1,-3,1)
como base do subespaço. Note que o terceiro vetor é combinação linear desses: (1,4,-3,0)=(1,2,3,-2)+2,(0,1,-3,1).
A dimensão do subespaço é o número de vetores na base, que é 2.

Resposta

Uma base é {(1,2,3,-2),;(0,1,-3,1)} e a dimensão do subespaço gerado é 2.

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