Calcule o volume do sólido interior à esfera
e ao cone
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está dentro de uma esfera dada por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = z $ e também dentro de um cone definido por $ z = \sqrt{3(x^{2} + y^{2})} $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e cálculo integral, especialmente coordenadas esféricas, que facilitam bastante esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a equação da esfera. A equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = z $ pode ser reescrita completando o quadrado para o termo $ z $:
Isso nos mostra que a esfera tem centro no ponto $ (0, 0, \frac{1}{2}) $ e raio $ \frac{1}{2} $.
Passo 3
Agora, vamos analisar o cone $ z = \sqrt{3(x^{2} + y^{2})} $. Podemos reescrever essa equação elevando ambos os lados ao quadrado:
Isso nos mostra que o cone é simétrico em relação ao eixo $ z $ e tem uma abertura que podemos relacionar com o ângulo do cone.
Passo 4
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
Nessas coordenadas, o volume pode ser calculado usando $ dV = \rho^{2} \sin\phi , d\rho , d\phi , d\theta $.
Passo 5
Vamos encontrar os limites de integração. Primeiro, determinamos onde a esfera e o cone se interceptam. Substituindo $ z = \sqrt{3(x^{2} + y^{2})} $ na equação da esfera:
Deixe $ r^{2} = x^{2} + y^{2} $:
Isso nos dá o raio da base onde o cone corta a esfera.
Passo 6
Em coordenadas esféricas, $ r = \rho \sin\phi $, então:
Mas também sabemos que na esfera $ \rho = \frac{1}{2 \cos\phi} $, igualando as duas expressões:
Então, o ângulo $ \phi $ onde ocorre a interseção é $ \phi = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $.
Passo 7
Agora, configuramos os limites de integração:
- $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
- $ \phi $ varia de $ 0 $ até $ \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $.
- $ \rho $ varia de $ 0 $ até a esfera $ \rho = \frac{1}{2 \cos\phi} $.
Passo 8
Montamos a integral para o volume:
Passo 9
Integrando em relação a $ \rho $:
Passo 10
Substituindo na integral:
Factorizamos as constantes:
Passo 11
Integrando em relação a $ \theta $:
Então:
Passo 12
Vamos resolver a integral $ \int \frac{\sin\phi}{\cos^{3}\phi} , d\phi $. Fazendo a substituição $ u = \cos\phi $, então $ du = -\sin\phi , d\phi $, ou seja, $ -du = \sin\phi , d\phi $:
Passo 13
Voltando à integral definida:
Calculando nos limites:
Para $ \phi = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $:
Sabemos que $ \cos\phi = \frac{2}{\sqrt{3^{}} + 2^{2}} = \frac{2}{\sqrt{7}} $, então $ \cos^{2}\phi = \frac{4}{7} $.
Para $ \phi = 0 $:
$ \cos0 = 1 $, então $ \cos^{2}0 = 1 $.
Portanto:
Passo 14
Substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{\pi}{32} $ unidades cúbicas.