Calcule o volume do sólido interior à esfera x^2+y^2+z^2=z e ao cone .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está dentro de uma esfera dada por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = z $ e também dentro de um cone definido por $ z = \sqrt{3(x^{2} + y^{2})} $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e cálculo integral, especialmente coordenadas esféricas, que facilitam bastante esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a equação da esfera. A equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = z $ pode ser reescrita completando o quadrado para o termo $ z $:
x^2 + y^2 + z^2 = z
Isso nos mostra que a esfera tem centro no ponto $ (0, 0, \frac{1}{2}) $ e raio $ \frac{1}{2} $.

Passo 3

Agora, vamos analisar o cone $ z = \sqrt{3(x^{2} + y^{2})} $. Podemos reescrever essa equação elevando ambos os lados ao quadrado:
z = raiz3(x^2 + y^2)
Isso nos mostra que o cone é simétrico em relação ao eixo $ z $ e tem uma abertura que podemos relacionar com o ângulo do cone.

Passo 4

Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
Nessas coordenadas, o volume pode ser calculado usando $ dV = \rho^{2} \sin\phi , d\rho , d\phi , d\theta $.

Passo 5

Vamos encontrar os limites de integração. Primeiro, determinamos onde a esfera e o cone se interceptam. Substituindo $ z = \sqrt{3(x^{2} + y^{2})} $ na equação da esfera:
z = raiz3(x^2 + y^2)
Deixe $ r^{2} = x^{2} + y^{2} $:
x^2 + y^2 + (raiz3(x^2 + y^2))^2 = raiz3(x^2 + y^2) x^2 + y^2 + 3(x^2 + y^2) = raiz3(x^2 + y^2) 4(x^2 + y^2) = raiz3(x^2 + y^2)
Isso nos dá o raio da base onde o cone corta a esfera.

Passo 6

Em coordenadas esféricas, $ r = \rho \sin\phi $, então:
r = rho sinphi
Mas também sabemos que na esfera $ \rho = \frac{1}{2 \cos\phi} $, igualando as duas expressões:
rho sinphi = raiz34 rho = raiz34 sinphi
Então, o ângulo $ \phi $ onde ocorre a interseção é $ \phi = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $.

Passo 7

Agora, configuramos os limites de integração:
  • $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
  • $ \phi $ varia de $ 0 $ até $ \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $.
  • $ \rho $ varia de $ 0 $ até a esfera $ \rho = \frac{1}{2 \cos\phi} $.

Passo 8

Montamos a integral para o volume:
V = integral0^2pi integral0^arctan(raiz32) integral0^12 cosphi rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 9

Integrando em relação a $ \rho $:
rho

Passo 10

Substituindo na integral:
V = integral0^2pi integral0^arctan(raiz32) 124 cos^3phi sinphi , dphi , dtheta
Factorizamos as constantes:
V = 124 integral0^2pi dtheta integral0^arctan(raiz32) sinphicos^3phi , dphi

Passo 11

Integrando em relação a $ \theta $:
theta
Então:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 12

Vamos resolver a integral $ \int \frac{\sin\phi}{\cos^{3}\phi} , d\phi $. Fazendo a substituição $ u = \cos\phi $, então $ du = -\sin\phi , d\phi $, ou seja, $ -du = \sin\phi , d\phi $:
integral sinphicos^3phi , dphi

Passo 13

Voltando à integral definida:
integral0^arctan(raiz32) sinphicos^3phi , dphi = [ 12cos^2phi ]0^arctan(raiz32)
Calculando nos limites:
Para $ \phi = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $:
Sabemos que $ \cos\phi = \frac{2}{\sqrt{3^{}} + 2^{2}} = \frac{2}{\sqrt{7}} $, então $ \cos^{2}\phi = \frac{4}{7} $.
Para $ \phi = 0 $:
$ \cos0 = 1 $, então $ \cos^{2}0 = 1 $.
Portanto:
phi = arctan(raiz32)

Passo 14

Substituindo de volta na expressão do volume:
V = pi12 cdot 38 = 3pi96 = pi32

Resposta

O volume do sólido é $ \frac{\pi}{32} $ unidades cúbicas.

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