O que entende por sistema de vectores linearmente independentes ?

Passo 1

O enunciado pede pra gente explicar o que significa que um conjunto de vetores v1,dots,vk seja linearmente independente. O conteúdo é Álgebra Linear, mais especificamente o conceito de independência linear de vetores, e vamos precisar entender combinações lineares e a condição de somente a combinação trivial anular os vetores.

Passo 2

Para verificar a independência linear, a gente considera uma combinação linear genérica desses vetores:
c1 v1 + c2 v2 + cdots + ck vk = 0
onde c1, c2, dots, ck são escalares (por exemplo, em R ou C). O conjunto v1,dots,vk é dito linearmente independente se e somente se a única solução desse sistema for
c1 = c2 = cdots = ck = 0
Na prática, isso significa que não existe nenhuma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que zere o vetor resultante. Se houvesse, os vetores seriam dependentes.

Passo 3

Em outras palavras, ser linearmente independente quer dizer que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se eu tentar expressar vi em função de v1,dots,vi-1,vi+1,dots,vk e descobrir que isso é impossível, reforço a independência do sistema.

Resposta

Um sistema de vetores v1,dots,vk é linearmente independente quando a única combinação linear que resulta no vetor nulo é a combinação trivial, isto é, se de
c1 v1 + cdots + ck vk = 0
segue-se necessariamente
c1 = c2 = cdots = ck = 0
Nesse caso, nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos demais.

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