Encontre uma base e a dimensão para cada subespaço:
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x-2 y+z=0\right\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x-2y+z=0\}
e pede duas coisas:
  • Encontrar uma base para W.
  • Determinar a dimensão de W.
Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • Há uma equação linear homogênea que relaciona x, y e z: \;x-2y+z=0.
  • O conjunto de soluções dessa equação é um subespaço de \mathbb{R}^3 (passa pela origem porque a equação é homogênea).

Passo 2

Ideia prática (passo a passo): resolver a equação para uma das variáveis em função das outras duas, tomar as variáveis livres como parâmetros, escrever um vetor genérico de W em termos desses parâmetros e, a partir daí, identificar vetores que geram todos os elementos de W. Depois verificar que esses vetores são linearmente independentes. Isso nos dá uma base e a dimensão (nº de vetores da base).
Explicando o porquê desse método de forma simples: uma equação linear homogênea em \mathbb{R}^3 normalmente define um plano que passa pela origem (a menos que seja degenerate), então esperamos que a dimensão seja 2. Mas vamos fazer a conta para ver isso claramente e construir a base explicitamente.

Passo 3

Resolver a equação para expressar uma coordenada em função das outras. Da condição
x-2y+z=0
temos
x=2y-z.
Agora escolho y e z como parâmetros livres. Para escrever de forma clara, ponho
y=s,\qquad z=t,
onde s,t\in\mathbb{R}. Então um vetor genérico de W é
(x,y,z)=(2s-t,\;s,\;t).
Fatorando em termos de s e t:
(2s-t,\;s,\;t)=s(2,1,0)+t(-1,0,1).

Passo 4

Interpretação do que obtivemos: todo vetor de W pode ser escrito como combinação linear
s(2,1,0)+t(-1,0,1)
com s,t\in\mathbb{R}. Isso mostra que os vetores
v_1=(2,1,0),\qquad v_2=(-1,0,1)
geram W, isto é,
\operatorname{span}\{v_1,v_2\}=W.
Na linguagem de provas: mostramos que \{v_1,v_2\} é um conjunto gerador de W.

Passo 5

Verificar que v_1 e v_2 são linearmente independentes. Suponha que existam \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha v_1+\beta v_2=0,
isto é,
\alpha(2,1,0)+\beta(-1,0,1)=(0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
2\alpha-\beta=0,
\alpha+0\beta=0,
0\alpha+\beta=0.
Da segunda equação vem \alpha=0. Da terceira vem \beta=0. Assim \alpha=\beta=0 é a única solução, logo v_1 e v_2 são linearmente independentes.

Passo 6

Conclusão sobre base e dimensão: como \{v_1,v_2\} gera W e é linearmente independente, é uma base de W. O número de vetores da base é 2, portanto a dimensão de W é 2.
Observação extra e amiga: outra base possível aparece se escolhermos outros parâmetros livres (por exemplo (1,0, -2) e (0,1,0) não funcionariam necessariamente — é preciso garantir que os vetores escolhidos pertençam ao plano e sejam independentes). A escolha que fiz é simples e direta.

Resposta

Base: \{(2,1,0),\,(-1,0,1)\}
Dimensão: 2

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