Encontre uma base e a dimensão para cada subespaço:
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
e pede duas coisas:
- Encontrar uma base para
. - Determinar a dimensão de
.
Informações relevantes que já estão no enunciado:
- Há uma equação linear homogênea que relaciona
, e : . - O conjunto de soluções dessa equação é um subespaço de
(passa pela origem porque a equação é homogênea).
Passo 2
Ideia prática (passo a passo): resolver a equação para uma das variáveis em função das outras duas, tomar as variáveis livres como parâmetros, escrever um vetor genérico de
em termos desses parâmetros e, a partir daí, identificar vetores que geram todos os elementos de
. Depois verificar que esses vetores são linearmente independentes. Isso nos dá uma base e a dimensão (nº de vetores da base).
Explicando o porquê desse método de forma simples: uma equação linear homogênea em
normalmente define um plano que passa pela origem (a menos que seja degenerate), então esperamos que a dimensão seja
. Mas vamos fazer a conta para ver isso claramente e construir a base explicitamente.
Passo 3
Resolver a equação para expressar uma coordenada em função das outras. Da condição
temos
Agora escolho
e
como parâmetros livres. Para escrever de forma clara, ponho
onde
. Então um vetor genérico de
é
Fatorando em termos de
e
:
Passo 4
Interpretação do que obtivemos: todo vetor de
pode ser escrito como combinação linear
com
. Isso mostra que os vetores
geram
, isto é,
Na linguagem de provas: mostramos que
é um conjunto gerador de
.
Passo 5
Verificar que
e
são linearmente independentes. Suponha que existam
tais que
isto é,
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
Da segunda equação vem
. Da terceira vem
. Assim
é a única solução, logo
e
são linearmente independentes.
Passo 6
Conclusão sobre base e dimensão: como
gera
e é linearmente independente, é uma base de
. O número de vetores da base é
, portanto a dimensão de
é
.
Observação extra e amiga: outra base possível aparece se escolhermos outros parâmetros livres (por exemplo
e
não funcionariam necessariamente — é preciso garantir que os vetores escolhidos pertençam ao plano e sejam independentes). A escolha que fiz é simples e direta.
Resposta
Base:
Dimensão:
Dimensão: