O que significa achar uma base e a dimensão (uma mini‑aula rápida e prática):
Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que (i) geram o subespaço (ou seja, seu span é o subespaço) e (ii) são linearmente independentes.
A dimensão é o número de vetores dessa base.
Para testar se os vetores dados formam uma base devemos verificar dependência linear entre eles. Uma forma prática é montar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o posto (rank) por eliminação de Gauss: o número de colunas pivô é o número de vetores independentes e estes correspondem às colunas pivô (portanto podem ser escolhidos como base).
Passo 3
Formo a matriz A com v_{1},v_{2},v_{3} como colunas:
Como v_{1} e v_{2} são independentes e geram v_{3}, o conjunto \{v_{1},v_{2}\} gera todo U_{4} e é linearmente independente — logo é uma base de U_{4}.
A dimensão de U_{4} é o número de vetores da base, isto é 2.