Encontre uma base e a dimensão dos seguintes sub-espaços
U_{4}=[(1,0,2),(0,3,1),(4,-3,7)] \subset \mathbf{R}^{3}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
U_{4}=\operatorname{span}\{(1,0,2),(0,3,1),(4,-3,7)\}\subset\mathbb{R}^{3}.
As perguntas são:
  • Encontrar uma base de U_{4}.
  • Determinar a dimensão de U_{4}.
Os vetores fornecidos são (vou nomeá‑los para facilitar):
v_{1}=(1,0,2),\qquad v_{2}=(0,3,1),\qquad v_{3}=(4,-3,7).

Passo 2

O que significa achar uma base e a dimensão (uma mini‑aula rápida e prática):
  • Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que (i) geram o subespaço (ou seja, seu span é o subespaço) e (ii) são linearmente independentes.
  • A dimensão é o número de vetores dessa base.
    Para testar se os vetores dados formam uma base devemos verificar dependência linear entre eles. Uma forma prática é montar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o posto (rank) por eliminação de Gauss: o número de colunas pivô é o número de vetores independentes e estes correspondem às colunas pivô (portanto podem ser escolhidos como base).

Passo 3

Formo a matriz A com v_{1},v_{2},v_{3} como colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4\\[4pt] 0 & 3 & -3\\[4pt] 2 & 1 & 7 \end{pmatrix}.
Agora vou aplicar eliminação de Gauss (operações sobre linhas) para obter a forma em escada e identificar as colunas pivô.]

Passo 4

Primeira operação: eliminar o elemento da terceira linha, primeira coluna, usando R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1}.
R_{3}-2R_{1}=(2,1,7)-2(1,0,4)=(0,1,-1).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4\\[4pt] 0 & 3 & -3\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora simplifico a segunda linha para facilitar: faço R_{2}\leftarrow \dfrac{1}{3}R_{2}, obtendo
R_{2}=(0,1,-1).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Subtraio R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2} para zerar a terceira linha:
R_{3}-(R_{2})=(0,1,-1)-(0,1,-1)=(0,0,0).
Então a forma em escada é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Interpretação da forma em escada:
  • Há pivôs nas colunas 1 e 2. Isso significa que as colunas v_{1} e v_{2} são linearmente independentes.
  • A coluna 3 não é pivô, portanto v_{3} é combinação linear de v_{1} e v_{2}.
Podemos encontrar explicitamente a combinação: da segunda linha da forma em escada lemos que a relação entre as colunas dá
v_{3}=4v_{1}-1v_{2}.
Verificação direta:
4v_{1}-v_{2}=4(1,0,2)-(0,3,1)=(4,0,8)-(0,3,1)=(4,-3,7)=v_{3}.

Passo 8

Como v_{1} e v_{2} são independentes e geram v_{3}, o conjunto \{v_{1},v_{2}\} gera todo U_{4} e é linearmente independente — logo é uma base de U_{4}.
A dimensão de U_{4} é o número de vetores da base, isto é 2.

Resposta

Uma base é \{(1,0,2),(0,3,1)\}
\dim(U_{4})=2

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