Verifique se W é LI ou LD.
\mathrm{W}=\left\{\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}5 & 1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto W formado por três matrizes 2\times2:
W=\left\{\;A_1=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},\; A_2=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\; A_3=\begin{pmatrix}5 & 1\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}\;\right\}.
A pergunta é: verificar se W é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). As informações relevantes são exatamente as três matrizes acima.]

Passo 2

Lembrete do que significa linearmente independente (definição, explicada devagar):
  • Uma coleção de vetores (aqui matrizes) \{A_1,A_2,A_3\} é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha A_1+\beta A_2+\gamma A_3=0
é \alpha=\beta=\gamma=0.
  • Aqui 0 é a matriz zero 2\times2 (todas as entradas iguais a zero). As incógnitas \alpha,\beta,\gamma são escalares reais. Se existir uma solução não-trivial (alguma das incógnitas diferente de zero) então o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Como resolver na prática: basta escrever a combinação linear das matrizes e igualá-la à matriz zero, e então comparar entrada a entrada para obter um sistema linear em \alpha,\beta,\gamma. Não é preciso transformar formalmente em vetores; comparar entradas já é equivalente.

Passo 4

Escrevendo a combinação linear:
\alpha\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}5 & 1\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Somando as entradas correspondentes, obtemos a matriz cujo entradas são combinações lineares dos coeficientes:
\begin{pmatrix} 2\alpha+0\beta+5\gamma & \alpha+0\beta+\gamma\\[4pt] 0\alpha+1\beta+2\gamma & 2\alpha+0\beta+4\gamma \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Igualando cada entrada a zero obtemos o sistema de quatro equações (uma por entrada):
\begin{cases} 2\alpha+5\gamma=0,\\[4pt] \alpha+\gamma=0,\\[4pt] \beta+2\gamma=0,\\[4pt] 2\alpha+4\gamma=0. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema passo a passo.
  • Da segunda equação segue
\alpha+\gamma=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha=-\gamma.
  • Substituindo \alpha=-\gamma na primeira equação:
2(-\gamma)+5\gamma= (-2+5)\gamma=3\gamma=0 \quad\Rightarrow\quad \gamma=0.
  • Com \gamma=0 temos \alpha=-\gamma=0.
  • Da terceira equação \beta+2\gamma=0 obtemos \beta+2\cdot0=0, logo \beta=0.
  • A quarta equação 2\alpha+4\gamma=0 fica 2\cdot0+4\cdot0=0, que é satisfeita (consistência verificada).

Passo 8

Concluímos que o único conjunto de escalares (\alpha,\beta,\gamma) que satisfaz \alpha A_1+\beta A_2+\gamma A_3=0 é \alpha=\beta=\gamma=0. Segundo a definição (Passo 2), isso significa que as matrizes de W são linearmente independentes: nenhuma delas pode ser obtida como combinação linear não-trivial das outras.

Resposta

W é linearmente independente.

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