Para que valores de
,
é
?
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pergunta para que valores de
o conjunto
é linearmente independente (LI).
Informações relevantes fornecidas:
- O primeiro vetor é
. - O segundo vetor é
. - Quer-se determinar os valores de
que tornam esses dois vetores linearmente independentes.
Passo 2
Definição prática de independência linear para dois vetores: dois vetores
(aqui
é isomorfo a
) são LI se, na equação
a única solução para os escalares
é
. Caso exista uma solução com
, os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Aplicando isso aos vetores dados, escrevemos a combinação linear nula:
Isso gera o sistema de equações em componentes:
Se a única solução deste sistema for
, então os vetores são LI.]
Passo 4
Um critério simples para dois vetores em
é usar o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas: se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes; se o determinante for zero, são dependentes.
Formamos a matriz cujas colunas são os vetores:
Calculamos o determinante:
Portanto os vetores são LI exatamente quando
Resolvendo isso,
Passo 5
Para entender intuitivamente o caso
: se
os vetores são
e
. Nota-se que
, ou seja, são múltiplos um do outro, logo linearmente dependentes. Por exemplo,
dá uma combinação não-trivial que zera, confirmando dependência quando
.