Para que valores de \alpha,
\mathrm{W}=\left\{\binom{1}{\alpha},\binom{2}{14}\right\} \subset \mathrm{M}_{2 \times 1} é LI?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W=\left\{\binom{1}{\alpha},\binom{2}{14}\right\}\subset \mathrm{M}_{2\times1}
e pergunta para que valores de \alpha o conjunto W é linearmente independente (LI).
Informações relevantes fornecidas:
  • O primeiro vetor é \displaystyle \binom{1}{\alpha}.
  • O segundo vetor é \displaystyle \binom{2}{14}.
  • Quer-se determinar os valores de \alpha que tornam esses dois vetores linearmente independentes.

Passo 2

Definição prática de independência linear para dois vetores: dois vetores v_1,v_2\in\mathbb{R}^2 (aqui \mathrm{M}_{2\times1} é isomorfo a \mathbb{R}^2) são LI se, na equação
c_1 v_1 + c_2 v_2 = \binom{0}{0},
a única solução para os escalares c_1,c_2 é c_1=c_2=0. Caso exista uma solução com (c_1,c_2)\neq(0,0), os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Aplicando isso aos vetores dados, escrevemos a combinação linear nula:
c_1\binom{1}{\alpha}+c_2\binom{2}{14}=\binom{0}{0}.
Isso gera o sistema de equações em componentes:
\begin{cases} c_1 + 2c_2 = 0,\\[4pt] \alpha c_1 + 14 c_2 = 0. \end{cases}
Se a única solução deste sistema for c_1=c_2=0, então os vetores são LI.]

Passo 4

Um critério simples para dois vetores em \mathbb{R}^2 é usar o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas: se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes; se o determinante for zero, são dependentes.
Formamos a matriz cujas colunas são os vetores:
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] \alpha & 14\end{pmatrix}.
Calculamos o determinante:
\det(A)=1\cdot 14 - 2\cdot \alpha = 14 - 2\alpha.
Portanto os vetores são LI exatamente quando
14-2\alpha \neq 0.
Resolvendo isso,
14-2\alpha \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha \neq 7.]

Passo 5

Para entender intuitivamente o caso \alpha=7: se \alpha=7 os vetores são \binom{1}{7} e \binom{2}{14}. Nota-se que \binom{2}{14}=2\binom{1}{7}, ou seja, são múltiplos um do outro, logo linearmente dependentes. Por exemplo, 2\binom{1}{7}-1\binom{2}{14}=\binom{0}{0} dá uma combinação não-trivial que zera, confirmando dependência quando \alpha=7.

Resposta

\alpha \neq 7

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