Encontre uma base e a dimensão dos seguintes sub-espaços:
W_{2}=\{(x, y, z): x+2 y=0 e x-z=0\} \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W_{2} = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}\mid x + 2y = 0,\; x - z = 0\}
e pede que a gente encontre uma base de W_{2} e sua dimensão. O conteúdo é resolução de um sistema linear homogêneo para descrever o subespaço como imagem de um parâmetro.

Passo 2

Vamos resolver o sistema
\begin{cases} x + 2y = 0,\\\ x - z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x = -2y. Da segunda, z = x. Substituindo x desta na segunda, temos z = -2y.

Passo 3

Como y é livre, escrevemos y = t. Então
(x,y,z) = (-2t,\,t,\,-2t) = t\,(-2,\,1,\,-2).
Isso mostra que todo vetor de W_{2} é múltiplo de (-2,1,-2).

Passo 4

Portanto W_{2} = \text{span}\{(-2,1,-2)\}. Isso quer dizer que \{(-2,1,-2)\} é uma base de W_{2} e há exatamente um vetor na base.

Resposta

A base de W_{2} é \{(-2,1,-2)\} e \dim(W_{2}) = 1.

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