Encontre uma base e a dimensão do subespaço vetorial W onde:
W=\left\{p(t) \in P_{3}(\mathbb{R}) ; p(1)=p(-1)\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço
W = \{p(t)\in P_{3}(\mathbb{R}) \mid p(1)=p(-1)\}
em que P_{3}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios de grau <=3. Vamos usar a ideia de parametrizar um polinômio geral e impor a condição p(1)=p(-1) para achar a dimensão de W e uma base.

Passo 2

Escrevemos um polinômio geral de grau <=3:
p(t)=a + b\,t + c\,t^2 + d\,t^3,
com a,b,c,d\in\mathbb{R}. A condição p(1)=p(-1)
a+b+c+d \;=\; a - b + c - d.
Cancelando a e c de ambos os lados segue
b + d = -\,b - d \quad\Longrightarrow\quad 2b + 2d = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = -b.

Passo 3

A relação d=-b mostra que há três parâmetros livres (a,b,c). Logo
\dim(W) = 3.
Para obter uma base, escolhemos valores unitários em cada parâmetro:
  1. a=1,b=0,c=0 p_1(t)=1.
  2. a=0,b=1,c=0 p_2(t)=t - t^3 (pois d=-b=-1).
  3. a=0,b=0,c=1 p_3(t)=t^2.

Resposta

Uma base de W é
\{\,1,\;t^2,\;t - t^3\},
e \dim(W)=3.

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