Encontre uma base e a dimensão do subespaço vetorial W onde:
W=\left\{p(t) \in P_{2}(\mathbb{R}) ; t p^{\prime}(t)=p(t)\right\}.

Passo 1

O enunciado define
W = \{\,p(t)\in P_{2}(\mathbb{R}) \mid t\,p'(t)=p(t)\}
ou seja, estamos no espaço dos polinômios de grau <=2 e buscamos aqueles que satisfazem a “equação diferencial” t\,p'(t)=p(t). Para resolver, vamos escrever um polinômio genérico e igualar coeficientes.

Passo 2

Seja
p(t)=a\,t^{2}+b\,t+c,
com a,b,c\in\mathbb{R}. Então
p'(t)=2a\,t+b \quad\Longrightarrow\quad t\,p'(t)=2a\,t^{2}+b\,t.
A condição t\,p'(t)=p(t) vira
2a\,t^{2}+b\,t \;=\; a\,t^{2}+b\,t+c.

Passo 3

Igualando coeficientes em cada potência de t:
para t^{2}: 2a=a a=0,
para t^{1}: b=b (já satisfeito para qualquer b),
para t^{0}: 0=c c=0.

Passo 4

Com a=0 e c=0, sobra
p(t)=b\,t,
isto é, todo polinômio em W é múltiplo de t. Logo
W=\{\,b\,t\mid b\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}\{t\}.

Resposta

A base de W é \{t\} e \dim(W)=1.

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