Questão 38 Seja W=\left[\left(\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ -1 & 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{rc}0 & 11 \\\\ -5 & 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}2 & -5 \\\\ 3 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}4 & 1 \\\\ 1 & 5\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}3 & -2 \\\\ 2 & 3\end{array}\right)\right]. Encontre uma base e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço W\subset M_{2\times2}(\mathbb{R}) gerado pelas cinco matrizes
A_1=\begin{pmatrix}1&3\\\ -1&2\end{pmatrix},\; A_2=\begin{pmatrix}0&11\\\ -5&3\end{pmatrix},\; A_3=\begin{pmatrix}2&-5\\\ 3&1\end{pmatrix},\; A_4=\begin{pmatrix}4&1\\\ 1&5\end{pmatrix},\; A_5=\begin{pmatrix}3&-2\\\ 2&3\end{pmatrix}.
Queremos encontrar uma base de W e sua dimensão. A ideia é representar cada matriz como um vetor em \mathbb{R}^4 e determinar o posto desse sistema de vetores.

Passo 2

Associamos a cada A_i o vetor
v_i=(a_{11},\,a_{12},\,a_{21},\,a_{22}),
onde A_i=\bigl(a_{jk}\bigr). Assim:
v_1=(1,3,-1,2),\; v_2=(0,11,-5,3),\; v_3=(2,-5,3,1),\; v_4=(4,1,1,5),\; v_5=(3,-2,2,3).

Passo 3

Formamos a matriz cujas linhas são v_1,\dots,v_5 e aplicamos eliminação de linhas para encontrar o posto:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 & 2\\\\ 0 & 11 & -5 & 3\\\\ 2 & -5 & 3 & 1\\\\ 4 & 1 & 1 & 5\\\\ 3 & -2 & 2 & 3 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{L_3-2L_1,\;L_4-4L_1,\;L_5-3L_1}\; \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 & 2\\\\ 0 & 11 & -5 & 3\\\\ 0 & -11& 5 & -3\\\\ 0 & -11& 5 & -3\\\\ 0 & -11& 5 & -3 \end{pmatrix}.
Vê-se que as linhas 3,4 e 5 são múltiplas de -1 vezes a linha 2. Logo só há dois pivôs (coluna 1 e coluna 2), ou seja, posto =2.

Passo 4

Como apenas v_1 e v_2 são linearmente independentes e geram todos os outros v_i, uma base de W é dada pelas matrizes correspondentes a v_1 e v_2.

Resposta

Uma base de W é
\Bigl\{\begin{pmatrix}1&3\\\ -1&2\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&11\\\ -5&3\end{pmatrix}\Bigr\},
e \dim(W)=2.

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