Encontre uma base e a dimensão do subespaço vetorial W onde:
W=\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R}) ; A B=B A\right\} onde B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede o subespaço
W = \{A\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid AB = BA\},
onde
B = \begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é encontrar o centralizador de B em M_2(\mathbb{R}). Para isso, vamos parametrizar uma matriz genérica A em M_2(\mathbb{R}) e impor a condição AB=BA.]

Passo 2

Seja
A = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}.
Então
AB = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot1 + b\cdot0 & a\cdot1 + b\cdot1\\[6pt] c\cdot1 + d\cdot0 & c\cdot1 + d\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & a+b\\[4pt] c & c+d \end{pmatrix}.]

Passo 3

De modo análogo,
BA = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot a + 1\cdot c & 1\cdot b + 1\cdot d\\[6pt] 0\cdot a + 1\cdot c & 0\cdot b + 1\cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c & b+d\\[4pt] c & d \end{pmatrix}.]

Passo 4

Impondo AB=BA, igualamos as entradas correspondentes:
(1,1): a = a + c c=0.
(1,2): a + b = b + d a = d.
(2,1): c = c é trivial.
(2,2): c + d = d c=0 (já obtido).
Logo as únicas condições são
c=0 \quad\text{e}\quad d=a.

Passo 5

Portanto toda A\in W é da forma
A = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & a\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Isso mostra que \{\,I,\;E\} com
I = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}, \quad E = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}
é uma base de W, e o espaço é bidimensional.]

Resposta

Uma base de W é
\left\{\, \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}, \; \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} \right\},
e \dim(W)=2.]

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