Encontre uma base e a dimensão do subespaço vetorial W onde: W=\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R}) ; A B=B A\right\} onde B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado pede o subespaço
W = \{A\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid AB = BA\},
onde
B = \begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é encontrar o centralizador de B em M_2(\mathbb{R}). Para isso, vamos parametrizar uma matriz genérica A em M_2(\mathbb{R}) e impor a condição AB=BA.]
Passo 2
Seja
A = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}.
BA = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot a + 1\cdot c & 1\cdot b + 1\cdot d\\[6pt] 0\cdot a + 1\cdot c & 0\cdot b + 1\cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c & b+d\\[4pt] c & d \end{pmatrix}.]
Passo 4
Impondo AB=BA, igualamos as entradas correspondentes:
(1,1): a = a + c ⇒ c=0.
(1,2): a + b = b + d ⇒ a = d.
(2,1): c = c é trivial.
(2,2): c + d = d ⇒ c=0 (já obtido).
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