Encontre uma base do R-espaço vetorial R^4 contendo os vetores v1=(1,2,-2,1) e v2=(2,4,-5,1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base de R^4 que já contenha os vetores
v1=(1,2,-2,1) e v2=(2,4,-5,1)
O conteúdo aqui é o conceito de base em espaço vetorial: devemos verificar independência linear de v1,v2 e depois “completar” esse conjunto a quatro vetores linearmente independentes em R^4.

Passo 2

Primeiro mostramos que
Escrevendo coordenada a coordenada:
Da primeira equação é independente.

Passo 3

Vamos escolher como terceiro vetor
Para ver que
Da primeira e da segunda coordenada vem
que implicam simultaneamente – contradição. Logo não é combinação de e .

Passo 4

Escolhemos como quarto vetor
Agora verificamos que
Escrevendo coordenadas:
Da segunda vem . Então da primeira e da quarta . Logo só a solução trivial existe, o conjunto é independente e, como tem 4 vetores em , forma uma base.

Resposta

Uma base de R^4 contendo v1 e v2 é
l(1,2,-2,1),,(2,4,-5,1),,(1,0,0,0),,(0,0,0,1)r

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