Sejam
um
-espaço vetorial de dimensão finita
e
uma base de
. Prove que se
e
são dois vetores de
, então:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num
-espaço vetorial
de dimensão finita
com base
, se dois vetores têm coordenadas
então a soma
tem coordenadas obtidas somando-se as coordenadas correspondentes:
Vamos usar que todo vetor tem representação única como combinação linear dos vetores da base.
Passo 2
Pela definição de coordenadas em relação à base
, temos
Passo 3
Somando
e
termo a termo, obtemos
Pela unicidade da representação de um vetor em função de uma base, isso mostra que as coordenadas de
em
são exatamente
.