Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão finita n e B uma base de V. Prove que se u=(a1, a2, ldots, an)B e v=(b1, b2, ldots, bn)B são dois vetores de V, então:
u+v=(a1+b1, a2+b2, ldots, an+bn)B

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num K-espaço vetorial V de dimensão finita n com base B=e1,dots,en, se dois vetores têm coordenadas
u=(a1,a2,dots,an)B e v=(b1,b2,dots,bn)B,
então a soma u+v tem coordenadas obtidas somando-se as coordenadas correspondentes:
u+v=(a1+b1,dots,an+bn)B
Vamos usar que todo vetor tem representação única como combinação linear dos vetores da base.

Passo 2

Pela definição de coordenadas em relação à base B, temos
u = a1e1 + a2e2 + cdots + anen, v = b1e1 + b2e2 + cdots + bnen

Passo 3

Somando u e v termo a termo, obtemos
u+v = (a1e1 + cdots + anen) + (b1e1 + cdots + bnen) = (a1+b1)e1 + cdots + (an+bn)en
Pela unicidade da representação de um vetor em função de uma base, isso mostra que as coordenadas de u+v em B são exatamente (a1+b1,dots,an+bn).

Resposta

u+v = l(a1+b1,,a2+b2,,dots,,an+bnr)B

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