Encontre uma base para ger \left(\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}-1 & 1 \\\\ 1 & -1\end{array}\right]\right., \left.\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right]\right) \operatorname{em} M_{22}.
Passo 1
O enunciado pede uma base para o subespaço de M_{2\times2} gerado pelas matrizes
I = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad S = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.
Aqui o conteúdo é combinar matrizes por combinações lineares e verificar dependências para extrair uma base.
Passo 2
Vamos buscar relações lineares entre essas matrizes. Observe que
S - I = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix} = A.
Isto é,
A = S - I.
De modo semelhante,
I - S = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 1\end{pmatrix} = B.
Logo
B = I - S.
Passo 3
Como A e B são combinação de I e S, o espaço gerado por \{I,S,A,B\} coincide com o gerado por \{I,S\}. Resta verificar que I e S são independentes: uma combinação