Encontre uma base para ger \left(\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}-1 & 1 \\\\ 1 & -1\end{array}\right]\right., \left.\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right]\right) \operatorname{em} M_{22}.

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço de M_{2\times2} gerado pelas matrizes
I = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad S = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.
Aqui o conteúdo é combinar matrizes por combinações lineares e verificar dependências para extrair uma base.

Passo 2

Vamos buscar relações lineares entre essas matrizes. Observe que
S - I = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix} = A.
Isto é,
A = S - I.
De modo semelhante,
I - S = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 1\end{pmatrix} = B.
Logo
B = I - S.

Passo 3

Como A e B são combinação de I e S, o espaço gerado por \{I,S,A,B\} coincide com o gerado por \{I,S\}. Resta verificar que I e S são independentes: uma combinação
\alpha I + \beta S = 0
\begin{pmatrix}\alpha & \beta\\beta & \alpha\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
o que força \alpha=0 e \beta=0. Portanto \{I,S\} é conjunto independente e gera todo o subespaço.

Resposta

Uma base para \mathrm{span}\{I,S,A,B\} é
\left\{ \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \right\}.

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