(a) Decomponha o vetor \vec{w}=(3,1,-2) como soma de três vetores \vec{w}_{1}, \vec{w}_{2}, e \vec{w}_{3}, respectivamente paralelos a \overrightarrow{u_{1}}=(1,1,-1), \overrightarrow{u_{2}}=(-2,1,2), e \overrightarrow{u_{3}}=(2,1,1).
(b) A decomposição que você encontrou é a única possível? Justifique sua resposta.
(c) Qualquer vetor \vec{v}=(a, b, c) pode ser decomposto como soma de três vetores paralelos a \overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}, e \overrightarrow{u_{3}} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor \vec{w}=(3,1,-2) como soma de três vetores \vec{w}_{1},\vec{w}_{2},\vec{w}_{3} paralelos, respectivamente, a \overrightarrow{u_{1}}=(1,1,-1), \overrightarrow{u_{2}}=(-2,1,2) e \overrightarrow{u_{3}}=(2,1,1).
Isso é uma questão de combinação linear em \mathbb{R}^3: vamos supor \vec{w}=\alpha\,\overrightarrow{u_{1}}+\beta\,\overrightarrow{u_{2}}+\gamma\,\overrightarrow{u_{3}}
e determinar os escalares \alpha,\beta,\gamma resolvendo um sistema linear.

Passo 2

Escrevendo componente a componente, temos o sistema
\begin{cases} \alpha -2\beta +2\gamma = 3,\\\ \alpha + \beta + \gamma = 1,\\\\ -\alpha +2\beta + \gamma = -2. \end{cases}

Passo 3

Para resolver, subtraímos a segunda equação da primeira para obter
-3\beta + \gamma = 2,
e somamos a segunda com a terceira para obter
3\beta +2\gamma = -1.
Chamemos-as de (4) e (5). Da equação (5) temos
\gamma = 2 + 3\beta.
Substituindo em (4):
-3\beta + (2+3\beta) = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2 = 2,
espera, corrige: vamos usar corretamente
3\beta +2(2+3\beta) = -1 \;\Longrightarrow\; 3\beta +4+6\beta = -1 \;\Longrightarrow\; 9\beta = -5 \;\Longrightarrow\; \beta = -\tfrac{5}{9},
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\gamma = 2 +3\bigl(-\tfrac{5}{9}\bigr) = 2 - \tfrac{5}{3} = \tfrac{1}{3}.
Finalmente, da segunda equação do sistema original,
\alpha = 1 - \beta - \gamma = 1 - \bigl(-\tfrac{5}{9}\bigr) - \tfrac{1}{3} = 1 + \tfrac{5}{9} - \tfrac{3}{9} = \tfrac{11}{9}.

Passo 4

Agora escrevemos
\vec{w}_{1} = \alpha\,\overrightarrow{u_{1}} = \tfrac{11}{9}(1,1,-1) = \bigl(\tfrac{11}{9},\tfrac{11}{9},-\tfrac{11}{9}\bigr),
\vec{w}_{2} = \beta\,\overrightarrow{u_{2}} = -\tfrac{5}{9}(-2,1,2) = \bigl(\tfrac{10}{9},-\tfrac{5}{9},-\tfrac{10}{9}\bigr),
\vec{w}_{3} = \gamma\,\overrightarrow{u_{3}} = \tfrac{1}{3}(2,1,1) = \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\bigr).
É fácil checar que \vec{w}_{1}+\vec{w}_{2}+\vec{w}_{3}=(3,1,-2).

Passo 5

Para saber se essa decomposição é única, basta verificar se \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}},\overrightarrow{u_{3}} são linearmente independentes. O determinante da matriz cujas colunas são esses vetores é
\det \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ -1& 2 & 1 \end{pmatrix} =9\neq0.
Como o determinante é não nulo, os vetores formam uma base de \mathbb{R}^3.

Passo 6

Logo, a decomposição que encontramos é única, pois estes três vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Como \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}},\overrightarrow{u_{3}} são uma base de \mathbb{R}^3, qualquer vetor \vec{v}=(a,b,c) em \mathbb{R}^3 pode ser escrito de forma única na forma
\vec{v} = \alpha\,\overrightarrow{u_{1}} + \beta\,\overrightarrow{u_{2}} + \gamma\,\overrightarrow{u_{3}}.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{w}_{1}=\bigl(\tfrac{11}{9},\tfrac{11}{9},-\tfrac{11}{9}\bigr),\quad \vec{w}_{2}=\bigl(\tfrac{10}{9},-\tfrac{5}{9},-\tfrac{10}{9}\bigr),\quad \vec{w}_{3}=\bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\bigr).
(b) Sim. A decomposição é única porque \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}},\overrightarrow{u_{3}} são linearmente independentes (determinante =9\neq0).
(c) Sim. Como eles formam base de \mathbb{R}^3, qualquer vetor (a,b,c) admite decomposição única nesses três vetores.

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