(a) Decomponha o vetor \vec{w}=(3,1,-2) como soma de três vetores \vec{w}_{1}, \vec{w}_{2}, e \vec{w}_{3}, respectivamente paralelos a \overrightarrow{u_{1}}=(1,1,-1), \overrightarrow{u_{2}}=(-2,1,2), e \overrightarrow{u_{3}}=(2,1,1).
(b) A decomposição que você encontrou é a única possível? Justifique sua resposta.
(c) Qualquer vetor \vec{v}=(a, b, c) pode ser decomposto como soma de três vetores paralelos a \overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}, e \overrightarrow{u_{3}} ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para escrever o vetor \vec{w}=(3,1,-2) como soma de três vetores \vec{w}_{1},\vec{w}_{2},\vec{w}_{3} paralelos, respectivamente, a \overrightarrow{u_{1}}=(1,1,-1), \overrightarrow{u_{2}}=(-2,1,2) e \overrightarrow{u_{3}}=(2,1,1).
Isso é uma questão de combinação linear em \mathbb{R}^3: vamos supor \vec{w}=\alpha\,\overrightarrow{u_{1}}+\beta\,\overrightarrow{u_{2}}+\gamma\,\overrightarrow{u_{3}}
e determinar os escalares \alpha,\beta,\gamma resolvendo um sistema linear.
Passo 2
Escrevendo componente a componente, temos o sistema
É fácil checar que \vec{w}_{1}+\vec{w}_{2}+\vec{w}_{3}=(3,1,-2).
Passo 5
Para saber se essa decomposição é única, basta verificar se \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}},\overrightarrow{u_{3}} são linearmente independentes. O determinante da matriz cujas colunas são esses vetores é
Como o determinante é não nulo, os vetores formam uma base de \mathbb{R}^3.
Passo 6
Logo, a decomposição que encontramos é única, pois estes três vetores são linearmente independentes.
Passo 7
Como \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}},\overrightarrow{u_{3}} são uma base de \mathbb{R}^3, qualquer vetor \vec{v}=(a,b,c) em \mathbb{R}^3 pode ser escrito de forma única na forma
(a) \displaystyle \vec{w}_{1}=\bigl(\tfrac{11}{9},\tfrac{11}{9},-\tfrac{11}{9}\bigr),\quad
\vec{w}_{2}=\bigl(\tfrac{10}{9},-\tfrac{5}{9},-\tfrac{10}{9}\bigr),\quad
\vec{w}_{3}=\bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\bigr).
(b) Sim. A decomposição é única porque \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}},\overrightarrow{u_{3}} são linearmente independentes (determinante =9\neq0).
(c) Sim. Como eles formam base de \mathbb{R}^3, qualquer vetor (a,b,c) admite decomposição única nesses três vetores.