Suponha agora que \overrightarrow{v_{1}}=(1,1,-1), \overrightarrow{v_{2}}=(-2,1,2), e \overrightarrow{v_{3}}=(-1,2,1)
(a) Decomponha o vetor \vec{k}=(4,1,-4) como soma de três vetores \vec{k}_{1}, \vec{k}_{2}, e \vec{k}_{3}, respectivamente paralelos a \overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}}, \mathrm{e} \overrightarrow{v_{3}}.
(b) A decomposição que você encontrou é a única possível? Justifique sua resposta.
(c) Qualquer vetor \vec{v}=(a, b, c) pode ser decomposto como soma de três vetores paralelos a \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \mathrm{e} \vec{v}_{3} ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para expressar \vec{k}=(4,1,-4) como soma de três vetores \vec{k}_1,\vec{k}_2,\vec{k}_3 paralelos, respectivamente, a \vec{v}_1=(1,1,-1), \vec{v}_2=(-2,1,2) e \vec{v}_3=(-1,2,1). O conteúdo envolvido é resolver um sistema linear que determina coeficientes de combinação linear e discutir existência e unicidade com base em independência linear e no subespaço gerado pelos \vec{v}_i.
\begin{cases} x - 2y - z = 4,\\\ x + y + 2z = 1,\\\\ -\,x + 2y + z = -4. \end{cases}
Passo 3
Resolvendo o sistema nota-se que a terceira equação é combinação das duas primeiras, de modo que há infinitas soluções. Em particular, tomando o parâmetro z=1 obtemos
Para (b), como o sistema tem infinitas soluções, a decomposição não é única. Isso ocorre porque
\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3
são linearmente dependentes (determinante da matriz formada por eles é zero e vale \vec{v}_3=\vec{v}_1+\vec{v}_2). Logo há uma família de decomposições parametrizada pela escolha de z.
Passo 5
Para (c), qualquer vetor \vec{v}=(a,b,c) só pode ser escrito como combinação \alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2+\gamma\vec{v}_3 se pertencer ao subespaço gerado pelos \vec{v}_i. Como \vec{v}_3=\vec{v}_1+\vec{v}_2, esse subespaço é o plano de equação c=-a. Portanto nem todo(a,b,c) admite tal decomposição, apenas aqueles que satisfazem c=-a.
Resposta
(a) Uma decomposição possível é \displaystyle \vec{k}_1=\vec{v}_1,\\ \vec{k}_2=-2\vec{v}_2,\\ \vec{k}_3=\vec{v}_3,
pois (1,1,-1)+(4,-2,-4)+(-1,2,1)=(4,1,-4).
(b) Não, não é única, pois \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3 são linearmente dependentes, gerando infinitas soluções.
(c) Não, apenas vetores (a,b,c) que pertencem ao plano \operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} (isto é, com c=-a) podem ser decompostos desta forma.