Encontre uma base para Im(T) e ker(T) nas seguintes transformações lineares:
T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x+y, x+y)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
;TcolonR^2toR^2 dada por
T(x,y) = (x+y,;x+y)
Queremos encontrar uma base para Im(T) (imagem) e para ker(T) (núcleo). Usaremos as definições:
bul<=t Im(T)=T(v)mid vinR^2.
bul<=t ker(T)=vinR^2mid T(v)=(0,0).

Passo 2

Para a imagem, observo que para todo (x,y)inR^2,
T(x,y) = (x+y,;x+y) = t,(1,1),
onde t = x+y é um escalar qualquer. Logo
Im(T) = (t,t)mid tinR = Span(1,1)
Portanto uma base de Im(T) é (1,1).

Passo 3

Para o núcleo, imponho T(x,y)=(0,0), ou seja,
(x+y,;x+y) = (0,0) Longrightarrow x+y=0 Longrightarrow y=-x
Assim
ker(T) = (x,-x)mid xinR = Span(1,-1)
Logo uma base de ker(T) é (1,-1).

Resposta

Uma base para Im(T) é (1,1).
Uma base para ker(T) é (1,-1).

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