Encontre F: R^3 R^2 linear tal que
a) Im(F) é gerada por (1,2)
b) ker(F) é gerado por (1,1,0),(2,0,1)

Passo 1

O enunciado pede uma aplicação linear F:R^3toR^2 tais que
  1. Im(F) seja a reta gerada por (1,2).
  2. ker(F) seja o plano gerado por ,(1,1,0) e (2,0,1).
O conteúdo aqui é a relação entre núcleo, imagem e funcionais lineares: se uma aplicação em R^3toR^2 tem imagem de dimensão 1, ela pode ser vista como um funcional escalar h:R^3toR seguido da inclusão na direção (1,2).

Passo 2

Escrevemos
F(x,y,z) ;=; h(x,y,z),l(1,2r),
onde h:R^3toR é uma forma linear. Nesse caso
ker(F) =(x,y,z)mid F(x,y,z)=(0,0) =(x,y,z)mid h(x,y,z)=0 =ker(h)
Para que ker(F) seja gerado por (1,1,0) e (2,0,1), basta escolher h que se anule nesses dois vetores.

Passo 3

Procuramos h(x,y,z)=a x+b y+c z tal que
h(1,1,0)=a+b=0, h(2,0,1)=2a+c=0
Daí
b=-a, c=-2a
Escolhemos a=1 (qualquer escalar não nulo daria a mesma kernel), logo
h(x,y,z)=x - y - 2z

Passo 4

Com esse , definimos
Em forma de matriz,
De fato:
  • é dado por , ou seja .
  • são todos os múltiplos de .

Resposta

Uma aplicação que satisfaz as condições é
F(x,y,z)=l(x - y - 2z,;2x - 2y - 4zr)

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