a) Mostre que F é linear
b) Encontre uma base de Im(F) e ker(F)
Passo 1
O enunciado define a aplicação
Fcolon M2times2(R)to M2times2(R), Amapsto MA,
onde
M=1&13&-2
O conteúdo envolve transformações lineares em espaços de matrizes, núcleo e imagem. Vamos usar a definição de linearidade e propriedades de matrizes invertíveis para achar ker(F) e Im(F).
Passo 2
Para mostrar linearidade, tomemos A,Bin M2times2(R) e lambdainR. Então
F(A+B)=M(A+B)=MA+MB=F(A)+F(B),
F(lambda A)=M(lambda A)=lambda,(MA)=lambda,F(A)
Logo F é linear.
Passo 3
Para entender ker(F) e Im(F), calculamos
det(M)=1cdot(-2)-1cdot3=-5neq0
Como det(M)neq0, a matriz M é inversível. Multiplicar à esquerda por uma matriz inversível define um isomorfismo em M2times2(R), logo F é bijetora.
Passo 4
Da injetividade decorre
ker(F)=Amid MA=0=0
A dimensão do núcleo é zero, portanto sua base é o conjunto vazio.
Passo 5
Da sobrejetividade segue
Im(F)=M2times2(R)
Uma base natural é a base canônica
E11,,E12,,E21,,E22,
onde cada Eij tem entrada 1 em (i,j) e 0 nas outras posições.
Resposta
a) F é linear.
b) Im(F)=M2times2(R) com base E11,E12,E21,E22; ker(F)=0 (base vazia).