Encontre uma base de \mathbb{R}^{3} da qual façam parte os vetores (1,2,1)^{t} e (2,3,4)^{t}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma base de \mathbb{R}^{3} da qual façam parte os vetores (1,2,1)^{t} e (2,3,4)^{t}.
Informações dadas:
  • Temos dois vetores em \mathbb{R}^{3}: v_{1}=(1,2,1)^{t} e v_{2}=(2,3,4)^{t}.
  • Precisamos completar esses dois vetores com um terceiro vetor de modo que os três formem uma base de \mathbb{R}^{3}.
O que é pedido explicitamente:
  • Fornecer uma base de \mathbb{R}^{3} que contenha v_{1} e v_{2}.

Passo 2

Entender o que significa formar uma base (explicação didática, passo a passo, sem pular etapas).
Definição (em palavras simples): um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^{3} é uma base se:
  1. Eles são linearmente independentes (nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros).
  2. Eles geram todo \mathbb{R}^{3} (ou equivalentemente, por terem três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{3}, já geram o espaço todo).
Como eu verifico linearmente independência de três vetores?
  • Uma maneira prática: formar a matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
Como eu encontro um terceiro vetor que complete a base?
  • Basta escolher um vetor que não esteja no plano gerado por v_{1} e v_{2}. Qualquer vetor fora desse plano funcionará. Uma escolha simples é testar um vetor canônico, por exemplo e_{3}=(0,0,1)^{t}. Se ele não puder ser escrito como combinação linear de v_{1} e v_{2}, então \{v_{1},v_{2},e_{3}\} será linearmente independente.

Passo 3

Verificar se [v_{1}) e v_{2} já são linearmente independentes (primeiro passo necessário).
Para isso, considere a combinação linear a\,v_{1}+b\,v_{2}=0. Escrevendo coordenada a coordenada temos o sistema
\begin{cases} a + 2b = 0,\\[4pt] 2a + 3b = 0,\\[4pt] a + 4b = 0. \end{cases}
Resolvo as duas primeiras equações: da primeira vem a=-2b\]. Substituindo na segunda: \[2(-2b)+3b=-4b+3b=-b=0 \implies b=0.\] Então \(a=-2\cdot 0=0. Como obtivemos a=b=0, isso mostra que v_{1} e v_{2} são linearmente independentes (bons — já não estão na mesma reta).]

Passo 4

Procurar um terceiro vetor simples e testar se ele está no span de [v_{1}) e v_{2}. Vou testar v_{3}=e_{3}=(0,0,1)^{t} porque é uma escolha fácil de calcular.
Tentar escrever v_{3} como combinação: a\,v_{1}+b\,v_{2}=v_{3}. Isso dá o sistema
\begin{cases} a + 2b = 0,\\[4pt] 2a + 3b = 0,\\[4pt] a + 4b = 1. \end{cases}
Das duas primeiras equações, como antes, temos a=-2b\] e então \(-b=0 levando a b=0 e a=0. Mas a terceira equação pede a+4b=1, que com a=b=0 0=1, contradição. Portanto não existem a,b que façam a\,v_{1}+b\,v_{2}=v_{3}. Conclusão: v_{3}=(0,0,1)^{t} NÃO está no span de v_{1} e v_{2}; isto é, v_{3} está fora do plano gerado por eles.]

Passo 5

Mostrar que \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente (usando determinante), para ter certeza absoluta de que formam uma base.
Formo a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 3 & 0\\[4pt] 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}.
Calculo o determinante expandindo pela terceira coluna (que tem zeros nas duas primeiras linhas), obtendo
\det(M)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix} =1\cdot(1\cdot 3 - 2\cdot 2)=3-4=-1.
Como \det(M)=-1\neq 0, os três vetores são linearmente independentes.]

Passo 6

Concluir que os três vetores formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
Razão final e motivação prática: em \mathbb{R}^{3}, qualquer conjunto de três vetores linearmente independentes é uma base (eles têm a dimensão correta e geram o espaço). Já verificamos independência, logo \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é base. Missão cumprida — escolhi um vetor simples e verifiquei tudo de forma direta.

Resposta

\{(1,2,1)^{t},\,(2,3,4)^{t},\,(0,0,1)^{t}\}

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