Seja A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & -1 \\\\ 2 & 1 & 0 & -1 \\\\ 5 & 2 & 1 & -3\end{array}\right).
Encontre uma base para \operatorname{Col}(A).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\\\ 2 & 1 & 0 & -1 \\\\ 5 & 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}
e pede: "Encontre uma base para \operatorname{Col}(A)".\n
Informações relevantes que temos:
  • As colunas de A são vetores em \mathbb{R}^3.
  • \operatorname{Col}(A) é o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado (span) pelas colunas de A.
  • Precisamos encontrar um conjunto de colunas de A que:
    1. Gerem \operatorname{Col}(A) (ou seja, todo vetor da coluna é combinação linear delas).
    2. Sejam linearmente independentes.

Passo 2

Vou explicar a ideia que vamos usar (sem ainda calcular):\n
  • Definição curta: \operatorname{Col}(A)=\operatorname{span}\{ \text{colunas de }A\}. Uma base de \operatorname{Col}(A) é um conjunto de colunas linearmente independentes que geram essa coluna-espaço.\n
  • Método prático para matrizes: fazemos eliminação por linhas (redução a forma escalonada) e identificamos as colunas pivô (as colunas que têm os primeiros 1s de cada linha pivô). As colunas correspondentes na matriz original formam uma base de \operatorname{Col}(A).\n
    Breve justificativa (intuição): existe uma matriz invertível E tal que U=EA é a forma escalonada. Multiplicar por E (invertível) preserva dependências lineares entre colunas: colunas independentes permanecem independentes e relações lineares entre colunas de A aparecem em U. Assim, as colunas pivô de U correspondem a colunas de A que são independentes e geram todas as outras colunas de A.

Passo 3

Vamos aplicar eliminação por linhas em A passo a passo (sempre mostrando a operação feita e a matriz resultante). Começamos com
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\\\ 2 & 1 & 0 & -1 \\\\ 5 & 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}.
Primeira operação: eliminar abaixo do primeiro pivô (entrada 1 em posição (1,1)):
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
  • R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1.
Calculando:
  • R_2 = (2,1,0,-1) - 2(1,0,1,-1) = (0,1,-2,1).
  • R_3 = (5,2,1,-3) - 5(1,0,1,-1) = (0,2,-4,2).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\\ 0 & 2 & -4 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Segunda operação: eliminar abaixo do segundo pivô (entrada 1 em posição (2,2)):
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2.
Calculando:
  • R_3 = (0,2,-4,2) - 2(0,1,-2,1) = (0,0,0,0).
A matriz escalonada obtida é
U=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Aqui vemos claramente os pivôs nas colunas 1 e 2 (eles aparecem nas posições (1,1) e (2,2)). Portanto o posto (rank) de A é 2.

Passo 5

Pela teoria (e pela justificativa dada antes), as colunas 1 e 2 da matriz original A formam uma base de \operatorname{Col}(A). Vamos escrever essas colunas explicitamente:
  • \text{col}_1(A)=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 5\end{pmatrix}.
  • \text{col}_2(A)=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.
Mas é bom verificar que as outras colunas são combinações lineares dessas duas (isso mostra que as duas colunas de fato geram toda \operatorname{Col}(A)).

Passo 6

Expressar \text{col}_3 e \text{col}_4 em função de \text{col}_1 e \text{col}_2.
Para \text{col}_3=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, procuramos x,y tais que
x\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 5\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Da primeira coordenada vem x=1. Da segunda coordenada vem 2x+y=0\Rightarrow 2\cdot1+y=0\Rightarrow y=-2. Conferindo na terceira coordenada: 5x+2y=5\cdot1+2(-2)=5-4=1, OK. Logo
\text{col}_3 = 1\cdot\text{col}_1 + (-2)\cdot\text{col}_2.
Para \text{col}_4=\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ -3\end{pmatrix}, procuramos x,y tais que
x\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 5\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ -3\end{pmatrix}.
Da primeira coordenada vem x=-1. Da segunda vem 2x+y=-1\Rightarrow 2(-1)+y=-1\Rightarrow y=1. Conferindo terceira: 5x+2y=5(-1)+2(1)=-5+2=-3, OK. Logo
\text{col}_4 = -1\cdot\text{col}_1 + 1\cdot\text{col}_2.
Assim, todas as colunas estão no span de \{\text{col}_1,\text{col}_2\}.

Passo 7

Verificar que \text{col}_1 e \text{col}_2 são linearmente independentes: suponha \alpha\text{col}_1+\beta\text{col}_2=0. Da primeira coordenada obtemos \alpha\cdot1+\beta\cdot0=0\Rightarrow \alpha=0. Da segunda coordenada obtemos 2\alpha+\beta=0\Rightarrow \beta=0. Logo \alpha=\beta=0, ou seja, são independentes. Portanto \{\text{col}_1,\text{col}_2\} é um conjunto gerador e linearmente independente — logo é uma base de \operatorname{Col}(A).

Resposta

\left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]5\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]2\end{pmatrix}\right\}]

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