e pede: "Encontre uma base para \operatorname{Col}(A)".\n
Informações relevantes que temos:
As colunas de A são vetores em \mathbb{R}^3.
\operatorname{Col}(A) é o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado (span) pelas colunas de A.
Precisamos encontrar um conjunto de colunas de A que:
Gerem \operatorname{Col}(A) (ou seja, todo vetor da coluna é combinação linear delas).
Sejam linearmente independentes.
Passo 2
Vou explicar a ideia que vamos usar (sem ainda calcular):\n
Definição curta: \operatorname{Col}(A)=\operatorname{span}\{ \text{colunas de }A\}. Uma base de \operatorname{Col}(A) é um conjunto de colunas linearmente independentes que geram essa coluna-espaço.\n
Método prático para matrizes: fazemos eliminação por linhas (redução a forma escalonada) e identificamos as colunas pivô (as colunas que têm os primeiros 1s de cada linha pivô). As colunas correspondentes na matriz original formam uma base de \operatorname{Col}(A).\n
Breve justificativa (intuição): existe uma matriz invertível E tal que U=EA é a forma escalonada. Multiplicar por E (invertível) preserva dependências lineares entre colunas: colunas independentes permanecem independentes e relações lineares entre colunas de A aparecem em U. Assim, as colunas pivô de U correspondem a colunas de A que são independentes e geram todas as outras colunas de A.
Passo 3
Vamos aplicar eliminação por linhas em A passo a passo (sempre mostrando a operação feita e a matriz resultante). Começamos com
Aqui vemos claramente os pivôs nas colunas 1 e 2 (eles aparecem nas posições (1,1) e (2,2)). Portanto o posto (rank) de A é 2.
Passo 5
Pela teoria (e pela justificativa dada antes), as colunas 1 e 2 da matriz original A formam uma base de \operatorname{Col}(A). Vamos escrever essas colunas explicitamente:
Mas é bom verificar que as outras colunas são combinações lineares dessas duas (isso mostra que as duas colunas de fato geram toda \operatorname{Col}(A)).
Passo 6
Expressar \text{col}_3 e \text{col}_4 em função de \text{col}_1 e \text{col}_2.
Para \text{col}_3=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, procuramos x,y tais que
Da primeira coordenada vem x=1. Da segunda coordenada vem 2x+y=0\Rightarrow 2\cdot1+y=0\Rightarrow y=-2. Conferindo na terceira coordenada: 5x+2y=5\cdot1+2(-2)=5-4=1, OK. Logo
Assim, todas as colunas estão no span de \{\text{col}_1,\text{col}_2\}.
Passo 7
Verificar que \text{col}_1 e \text{col}_2 são linearmente independentes: suponha \alpha\text{col}_1+\beta\text{col}_2=0. Da primeira coordenada obtemos \alpha\cdot1+\beta\cdot0=0\Rightarrow \alpha=0. Da segunda coordenada obtemos 2\alpha+\beta=0\Rightarrow \beta=0. Logo \alpha=\beta=0, ou seja, são independentes. Portanto \{\text{col}_1,\text{col}_2\} é um conjunto gerador e linearmente independente — logo é uma base de \operatorname{Col}(A).