e pede para encontrar uma base para N(A), ou seja, o espaço nulo de A.
As informações relevantes que temos são:
\text{Dados: }A\text{ é }3\times4\text{ com entradas como acima.}é
\text{Pedido: Uma base de }N(A)=\{x\in\mathbb{R}^4 \mid A x = 0\}.
Não há outras informações (como figura ou tabela) necessárias.]
Passo 2
O que vamos resolver de fato: precisamos achar todos os vetores x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T que satisfazem A x=0. Para isso usamos eliminação por linhas (método de Gauss) para reduzir o sistema linear associado e identificar variáveis pivô e variáveis livres. Vou explicar o porquê desse procedimento de um jeito prático:
A equação matricial A x=0 é equivalente a um sistema linear de 3 equações em 4 incógnitas.
Na eliminação por linhas transformamos A em uma forma escalonada para achar relações lineares entre as incógnitas.
As colunas correspondentes a pivôs representam variáveis que podem ser expressas em função das variáveis livres; as colunas sem pivô correspondem a variáveis livres (parametrizáveis).
Cada variável livre gera um vetor solução básico; os vetores obtidos formam um conjunto gerador do espaço nulo. Se esses vetores forem linearmente independentes, eles formam uma base.
Vou aplicar isso passo a passo para a nossa matriz.
Passo 3
Escrevo o sistema A x = 0 explicitamente e começo a eliminação por linhas. Primeiro mostro A:
Argumento que v_1 e v_2 formam uma base: encontramos que todo vetor x\in N(A) é combinação linear de v_1 e v_2 (já mostrado pela parametrização). Além disso, v_1 e v_2 são linearmente independentes porque são geradores correspondentes a parâmetros independentes s e t (ou, alternativamente, porque nenhum é múltiplo escalar do outro). Como geram N(A) e são linearmente independentes, formam uma base de N(A).